模糊层次分析法

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模糊层次分析法（fuzzy analytic hierarchy process，FAHP）

什么是模糊层次分析法

　　模糊层次分析法（FAHP)及计算过程层次分析法(AHP)是20世纪70年代美国运筹学T.L. Saaty教授提出的一种定性与定量相结合的系统分析方法。

　　该方法对于量化评价指标,选择最优方案提供了依据,并得到了广泛的应用。然而, AHP存在如下方面的缺陷:检验判断矩阵是否一致非常困难,且检验判断矩阵是否具有一致性的标准CR < 0. 1缺乏科学依据;判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异。在模糊层次分析中,作因素间的两两比较判断时,如果不用三角模糊数来定量化,而是采用一个因素比另一个因素的重要程度定量表示,则得到模糊判断矩阵。

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模糊层次分析法的提出

　　众多的风险评价方法中，层次分析法（AHP：the Analytic Hierarchy Process）以其定性和定量相结合地处理各种评价因素的特点，以及系统、灵活、简洁的优点，受到承包商的特别青睐。其特点是将人的主观判断过程数学化、思维化，以便使决策依据易于被人接受，因此，更能适合复杂的社会科学领域的情况。由于AHP在理论上具有完备性，在结构上具有严谨性，在解决问题上具有简洁性，尤其在解决非结构化决策问题上具有明显的优势，因此在各行各业得到了广泛应用。

　　层次分析法最大的问题是某一层次评价指标很多时（如四个以上），其思维一致性很难保证。在这种情况下，将模糊法与层次分析法的优势结合起来形成的模糊层次分析法（FAHP），将能很好地解决这一问题。模糊层次分析法的基本思想和步骤与AHP的步骤基本一致，但仍有以下两方面的不同点：

　　（1）建立的判断矩阵不同：在AHP中是通过元素的两两比较建立判断一致矩阵；而在FAHP中通过元素两两比较建立模糊一致判断矩阵

　　（2）求矩阵中各元素的相对重要性的权重的方法不同

　　而模糊层次分析法（FAHP）改进了传统层次分析法存在的问题，提高了决策可靠性。FAHP有一种是基于模糊数，另一种是基于模糊一致性矩阵。

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模糊层次分析法解决问题的步骤

　　模糊层次分析法的基本思想是根据多目标评价问题的性质和总目标，把问题本身按层次进行分解，构成一个由下而上的梯阶层次结构。因此在运用FAHP决策时，大体上可以可分为以下四个步骤。

　　（1）分析问题，确定系统中各因素之间的因果关系，对决策问题的各种要素建立多级（多层次）递阶结构模型。

　　（2）对同一层次（等级）的要素以上一级的要素为准则进行两两比较，并根据评定尺度确定其相对重要程度，最后据此建立模糊判断矩阵。

　　（3）通过一定计算，确定各要素的相对重要度。

　　（4）通过综合重要度的计算，对所有的替代方案进行优先排序，从而为决策人选择最优方案提供科学的决策依据

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模糊层次分析法的数学模型^[1]

　　下面介绍如何建立模糊互补判断矩阵、模糊互补判断矩阵权重的计算方法以及模糊互补判断矩阵的一致性判断方法。

　　1、模糊互补判断矩阵的建立

　　在模糊层次分析中,作因素间的两两比较判断时,采用一个因素比另一个因素的重要程度定量表示,则得到的模糊判断矩阵 $A=(a_{ij})n \times n$ ,如果其具有如下性质:

　　1) $a_{ii}=0.5,i=1,2,\cdots,n$ ;

　　2) $a_{ij}+a_{ji}=1,i,j=1,2, \cdots ,n$ ;

　　则这样的判断矩阵称为模糊互补判断矩阵。为了使任意两个方案关于某准则的相对重要程度得到定量描述,通常采用如表1的0.1～0.9标度法给予数量标度。

标度	定义	说明
0.5 同等重要	两元素相比较,	同等重要
0.6 稍微重要	两元素相比较,	一元素比另一元素稍微重要
0.7 明显重要	两元素相比较,	一元素比另一元素明显重要
0.8 重要得多	两元素相比较,	一元素比另一元素重要得多
0.9 极端重要	两元素相比较,	一元素比另一元素极端重要
0.1,0.2,0.3,0.4	反比较	若元素ai与元素aj相比较得到判断rii,则原素a_i与元素ai相比较得到的判断为 $r j i$ =1- $r i j$

　　 $a i i = 0.5$ 表示因素与自己相比同样重要;若 $a_{ij} \in [0.1,0.5)$ ,则表示因素 $x j$ 比 $x i$ 重要;若 $a_{ij} \in [0.5,0.9]$ ,则表示因素xi比xj重要。

　　依据上面的数字标度,因素 $a 1, a 2$ ,…,an相互进行比较,则得到如下模糊互补判断矩阵

　　A= $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\ a_{n^1} & a_{n^2} & \cdots & a_m \end{bmatrix}$ （1）

　　2、模糊互补判断矩阵的权重公式

　　推导出求解模糊互补判断矩阵权重的一种通用公式,该公式充分包含了模糊一致性判断矩阵的优良特性及其判断信息,计算量小且便于计算机编程实现,为实际应用带来了极大方便。该求解模糊互补判断矩阵权重的公式如下：

　　 $W_i=\frac{\sum_{j=1}^n a_{ij}+\frac{n}{2}-1}{n(n-1)}$ （2）

　　3、模糊互补判断矩阵的一致性检验方法

　　由式(2)得到的权重值是否合理,还应该进行比较判断的一致性检验。当偏移一致性过大时,表明此时将权向量的计算结果作为决策依据是不可靠的。推导出用模糊判断矩阵的相容性来检验其一致性原则的方法。

　　定义1:设矩阵 $A=(a_{ij})_{n \times n}$ 和 $B=(b_{ij})_{n \times n}$ 均为模糊判断矩阵,称

　　 $I(A,B)=\frac{1}{n^2}\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n a_{ij}+b_{ij}-1$ （3）

　　为A和B的相容性指标。

　　定义2:设 $W=(W_1,W_2, \cdots ,W_n)^T$ 是模糊判断矩阵A的权重向量,其中 $\sum_{i=1}^n W_i=1,W_i \ge 0(i=1,2,\cdots ,n)$ ,令 $W_{ij}=W_iW_i+W_j,(P_i,j=1,2,3, \cdots ,n)$ ,则称n阶矩阵：