关键路径法
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关键路径法(Critical Path Method,CPM)
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关键路线法是一种网络图方法，由雷明顿-兰德公司(Remington- Rand)的JE克里(JE Kelly)和杜邦公司的MR沃尔克(MR Walker)在1957年提出的，用于对化工工厂的维护项目进行日程安排。它适用于有很多作业而且必须按时完成的项目。关键路线法是一个动态系统，它会随着项目的进展不断更新，该方法采用单一时间估计法，其中时间被视为一定的或确定的。
在项目管理中，关键路径法（CriticalPathMethod）是一个基本而且非常重要的工具，指网络终端元素的元素的序列。这种方法的核心和关键在于找出项目活动组成的每条路径以及其中的关键路径[1]。
关键路径法作为一种网络图方法，关键路径会随着项目计划的进展不断更新，我们可以理解为它是项目计划当中最长的一条[2]。
关键路径的工期决定了整个项目的工期，任何在关键路径上的影响都会直接影响项目最终的预计完成时间，并且由这一条决定项目的完成时间[3]。
作为一种在利用进度模型时使用的一种进度网络分析技术，我们可以通过关键路径进行正向和反向分析，得到计划的最早开始时间ES、最早结束时间EF、最晚开始时间LS和最晚结束时间LF[4]。
关键路径是网络图中最长的路径，并具有最小的浮动或时差，其所含的关键任务决定着项目的完成日期[5]。
1）画出网络图，以节点标明事件，由箭头代表作业。这样可以对整个项目有一个整体概观。习惯上项目开始于左方终止于右方。
2）在箭头上标出每项作业的持续时间（T）
3）从左面开始，计算每项作业的最早结束时间（EF）。该时间等于最早可能的开始时间（ES）加上该作业的持续时间。
4）当所有的计算都完成时，最后算出的时间就是完成整个项目所需要的时间。
5）从右边开始，根据整个项目的持续时间决定每项作业的最迟结束时间（LF）。
6）最迟结束时间减去作业的持续时间得到最迟开始时间（LS）。
7）每项作业的最迟结束时间与最早结束时间，或者最迟开始时间与最早开始时间的差额就是该作业的时差。
8）如果某作业的时差为零，那么该作业就在关键路线上。
9）项目的关联路线就是所有作业的时差为零的路线。
关键路径方法（CPM）用于在计划模型中估计最短的项目持续时间，并确定计划网络路径的灵活性。此计划网络分析方法使用沿着计划网络路径的向前和向后推来计算所有活动的最早开始时间、最早结束时间、最晚开始时间和最晚结束时间，而不考虑资源约束。总浮动时间为0的路径是关键路径。
对于一个项目而言，只有项目网络中最长的或耗时最多的活动完成之后，项目才能结束，这条最长的活动路线就叫关键路径（Critical Path），组成关键路径的活动称为关键活动。其通常做法是：
1） 将项目中的各项活动视为有一个时间属性的结点，从项目起点到终点进行排列；
2） 用有方向的线段标出各结点的紧前活动和紧后活动的关系，使之成为一个有方向的网络图；
3） 用正推法和逆推法计算出各个活动的最早开始时间，最晚开始时间，最早完工时间和最迟完工时间，并计算出各个活动的时差；
4） 找出所有时差为零或者为负数的活动所组成的路线，即为关键路径；
5） 识别出准关键路径，为网络优化提供约束条件；
它具有以下特点：
1）关键路径上的活动持续时间决定了项目的工期，关键路径上所有活动的持续时间总和就是项目的工期。
2）关键路径上的任何一个活动都是关键活动，其中任何一个活动的延迟都会导致整个项目完工时间的延迟。
3）关键路径上的耗时是可以完工的最短时间量，若缩短关键路径的总耗时，会缩短项目工期；反之，则会延长整个项目的总工期。但是如果缩短非关键路径上的各个活动所需要的时间，也不至于影响工程的完工时间。
4）关键路径上活动是总时差最小的活动，改变其中某个活动的耗时，可能使关键路径发生变化。
5）可以存在多条关键路径，它们各自的时间总量肯定相等，即可完工的总工期。
关键路径是相对的，也可以是变化的。在采取一定的技术组织措施之后，关键路径有可能变为非关键路径，而非关键路径也有可能变为关键路径。
在项目管理中，编制网络计划的基本思想就是在一个庞大的网络图中找出关键路径，并对各关键活动，优先安排资源，挖掘潜力，采取相应措施，尽量压缩需要的时间。而对非关键路径的各个活动，只要在不影响工程完工时间的条件下，抽出适当的人力、物力和财力等资源，用在关键路径上，以达到缩短工程工期，合理利用资源等目的。在执行计划过程中，可以明确工作重点，对各个关键活动加以有效控制和调度。
在这个优化思想指导下，我们可以根据项目计划的要求，综合地考虑进度、资源利用和降低费用等目标，对网络图进行优化，确定最优的计划方案。下面分别讨论在不同的目标约束下，优化方案策略的制定步骤。
目标一：时间优化，即根据对计划进度的要求，缩短项目工程的完工时间。
可供选择的方案：
1．采取先进技术的措施如引入新的生产机器等方式，缩短关键活动的作业时间；
2．利用快速跟进法，找出关键路径上的哪个活动可以并行；
3．采取组织措施，充分利用非关键活动的总时差，利用加班、延长工作时间、倒班制和增加其它资源等方式合理调配技术力量及人、财、物等资源，缩短关键活动的作业时间。
目标二：时间－资源优化，在考虑工程进度的同时，考虑尽量合理利用现有资源，并缩短工期，具体要求和做法是：
1．优先安排关键活动所需要的资源；
2．利用非关键活动的总时差，错开各活动的开始时间，拉平资源所需要的高峰，即人们常说的“削峰填谷”；
3．在确实受到资源限制，或者在考虑综合经济效益的条件下，也可以适当地推迟工程时间。
目标三：时间－费用优化。这个目标包括两个方面，一个是指在保证既定的工程完工时间的条件下，所需要的费用最少；或者是在限制费用的条件下，工程完工时间最短。
一般来讲，工程费用可分为直接费用和间接费用两大类，其中直接费用包括直接生产的工人工资及附加费，设备折旧、能源、工具及材料消耗等直接与完成活动有关的费用。为缩短活动的作业时间，需要采取一定的技术组织措施，相应地需要增加一部分直接费用，如为了赶工增加设备或者单位时间内增加能源消耗等。因此，在一定条件下和一定范围内，活动的作业时间越短，直接费用越多。间接费用通常包括管理人员的工资、办公费等,从成本会计上，我们把间接费用按照工程的施工时间进行直接分摊。在一定的生产规模内，活动的作业时间越短，分摊的间接费用也越少。因此，我们有以下时间-费用函数： Y = f1(t) + f2(t)
Y：总费用
f1(t)：直接费用
f2(t)：间接费用
该方程式表明，工程项目的不同完工时间所对应的活动总费用和工程项目所需要的总费用随着时间的变化而变化。假设当 t = T’ 时，Y’ = Min(Y) 即工程总费用达到最低点，我们将T’点称为最低成本日程(我们可以用一阶导数为零,二阶导数为正来求得T’点)。在制订网络计划时，无论是以降低费用为主要目标，还是尽量缩短工程完工时间为主要目标，都要计算最低成本日程，从而拟定出时间-费用的优化方案。
从上面的分析可以看出，CPM主要是一种基于单点时间估计、有严格次序的一种网络图。它的出现为项目提供了重要的帮助，特别是为项目及其主要活动提供了图形化的显示，这些量化信息为识别潜在的项目延迟风险提供极其重要的依据。但是，我们也应用看到其不足之处：首先，现实生活中的项目网络往往包括上千项活动，在制定网络图时，极其容易遗漏；其次，各个工资之间的优先关系未必十分明确，难以做图；最后是各个活动时间经常需要利用概率分布来估计时间点，有可能发生的偏差；最后，确定关键路径目标其实质上为了确保项目按照这一特定的顺序严格执行，从而不至于使整个项目停顿、拖延，如果管理团队对确实无法确定的工作，就应该在项目运作的计划中进行充分的分析和重新安排，此是网络计划显得无能为力。因此在项目中，CPM也需要其它工具和方法同时辅助使用。
计划评审方法（program evaluation and review technique, PERT）和关键路线法Critical Path Method,CPM)是网络分析的重要组成部分，它广泛地用于系统分析和项目管理，计划评审与关键路线方法是在20世纪50年代提出并发展起来的。1956年，美国杜邦公司为了协调企业不同业务部门的系统规划，提出了关键路线法。1958年，美国海军武装部在研制“北极星”导弹计划时，由于导弹的研制系统过于庞大、复杂，为找到一种有效的管理方法，设计了计划评审方法。由于PERT与CPM既有着相同的目标应用，又有很多相同的术语，这两种方法已合并为一种方法，在国外称为PERT/CPM，在国内称为统筹方法（scheduling method）。
1、网络计划技术（Network Planning Technology），是指用于工程项目的计划与控制的一项管理技术。它是五十年代末发展起来的，依其起源有关键路径法（CPM）与计划评审法（PERT）之分。
2、关键路径分析（CPA）CPA是在20世纪50年代末，作为一种完善地计划和控制项目的方法产生的。CPA建立在项目活动网络图的基础上，用活动序列和它们的工期来确定项目最重要的路径。这样就辨别出构成整个项目最长时间期限的、相互依赖的活动序列。
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