乌鸦悖论

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乌鸦悖论，也叫做亨佩尔的乌鸦、亨佩尔悖论、确证悖论、亨普尔悖论，是二十世纪四十年代德国逻辑学家卡尔·古斯塔夫·亨佩尔（Carl Gustav Hempel）为了说明归纳法违反直觉而提出的一个悖论。

　　几千年以来，无数人观察了许多事务，比如地心引力法则，人们趋于相信其极可能是真理。这种类型的推理可以总结成“归纳法原理”：

　　如果实例X 被观察到和论断 T 相符合，那么论断 T 正确的概率增加。

　　亨佩尔给出了归纳法原理的一个例子：“所有乌鸦都是黑色的”论断。我们可以出去观察成千上万只乌鸦，然后发现他们都是黑的。在每一次观察之后，我们对“所有乌鸦都是黑的”的信任度会逐渐提高。归纳法原理在这里看起来合理的。^[1]

　　现在问题出现了。“所有乌鸦都是黑的” 的论断在逻辑上和“所有不是黑的东西不是乌鸦”等价。如果我们观察到一只红苹果，它不是黑的，也不是乌鸦，那么这次观察必会增加我们对“所有不是黑的东西不是乌鸦”的信任度，因此更加确信“所有的乌鸦都是黑的”！这个问题被总结成：

• 我从未见过紫牛，I never saw a purple cow
• 但若我见到一头，But if I were to see one
• 乌鸦皆黑的概率，Would the probability ravens are black
• 更加可能是一么？Have a better chance to be one?

　　（改写自吉利特·伯吉斯（Gelett Burgess）的诗）

　　乌鸦悖论又叫做确证悖论，是一个有关科学中的普遍性见解的确证或支持的难题。

　　为正确理解这个难题，首先需要明白三个概念，即证明、确证和否证。

　　我们所说的证明具有最终的含义。证明有两种情况，一种是理论证明，一种是经验证明。

　　一个特殊的结论如果能够从一个尚未发现问题的普遍性见解中推导出来，我们就说这个特殊的结论得到了理论证明。

　　比如，“张三必有一死”这个结论就可以这样来证明：凡人皆有一死，而张三是人，所以张三必有一死。从这里可以看出，理论证明的一个重要条件就是，证明中所利用的普遍性见解必须正确。普遍性见解的正确性不能靠理论证明，而要靠经验证明。

　　一个普遍性的结论如果其中所能包括的所有特殊情况都被人们正确无误地一一观察到，我们就说这个普遍性的结论得到了经验证明。

　　普遍性的结论包括的特殊情况无穷多，所以经验证明往往是不可能的。上面的例子中，“凡人必有一死”这个见解， 就要靠观察以前、现在和将来所有的人是否都有一死来证明。

　　根据一个普通性的见解预见一个新颖的特殊情况，如果确实观察到这个特殊的情况，那么，这个观察就成为一个证据而支持这个普遍性见解，于是我们就说这个普遍性的见解得到了确证。相反，如果观察到的情况不像所预见 的那样，我们就说这个普遍性的见解被否证。

　　我们要介绍的亨普尔悖论就是一个有关科学中的普遍性见解的确证或支持的难题，所以它又叫做“确证悖论”。

　　至此，人们关于确证或支持的看法有4个，即：

　　(1)观察到一只黑渡鸦，将支持“凡渡鸦皆黑”的见解；

　　(2)观察到一个非黑色而又并非是渡鸦的东西，会支持“非黑者皆非渡鸦”的见解；

　　(3)“凡渡鸦皆黑”和“非黑者皆非渡鸦”是两个相当的见解，因此同一个观察结果对它们要么都支持，要么都不支持，就是说，不会出现同一个观察结果只支持这两个见解中的一个而不支持这其中的另一个的情况；

　　(4)观察到一只白鞋，不会支持“凡渡鸦皆黑”的见解。

　　1945年，美国科学哲学家卡尔.亨普尔发现，这4个看法放在—起不兼容。

　　比如我们观察到—只白鞋，那么根据(2)，因为白鞋是一件非黑而且并非渡鸦的东西，所以这个观察就会支持“非黑者皆非渡鸦”的见解。根据(3)，这个观察也会支持“凡渡鸦皆黑”的见解，这个结论正好与(4)完全相反。这样就出现了矛盾。由于这个问题是以渡鸦为例提出来的，所以又称为“渡鸦悖论”。

　　确证在科学中起着非常重要的作用，是科学哲学家们十分重视的问题。半个世纪以来，人们围绕亨普尔悖论已经发表了大量的论文，提出了各种各样的见解，但是迄今却没有一个公认的解决方案出现。

　　解决它和直觉的冲突，哲学家们提出了一些方法。美国逻辑学家纳尔逊·古德曼（Nelson Goodman）建议对我们的推理添加一些限制，比如永远不要考虑支持论断“所有P满足Q”且同时也支持“没有P满足Q” 的实例。

　　其他一些哲学家质疑“等价原理”。也许红苹果能够增加我们对论断“所有不是黑的东西不是乌鸦”的信任度，而不增加我们对 “所有乌鸦都是黑色的”信任。这个提议受到质疑，因为你不能对等价的两个命题有不同的信任度，如果你知道他们都是真的或都是假的。

　　古德曼，以及其后的威拉德·冯·奥曼·蒯因，使用术语“projectible predicate”来描述这些类似于“乌鸦”和“黑色”的命题, 所有这类命题是支持归纳推理法的；而“非projectible predicate”则为与只相反的后者, 如“非黑”和“非乌鸦”这些命题并不支持归纳推理法。蒯因还提出一个需要证实的猜想：如果任何命题是projectible的；在无限物件组成的全集中，一个projectible的命题的补集永远是非projectible的。

　　这样一来，虽然“所有乌鸦都是黑的”和“所有不是黑的东西都不是乌鸦”这两个命题所拥有的信任度必须相等，但只有“黑色的乌鸦”才能同时增加两者的信任度，而“非黑色的非乌鸦”并不增加任何一个命题的信任度。

　　还有些哲学家认为其实这个命题是完全正确的，出错的是我们自己的逻辑。其实观察到一个红色的苹果确实会增加乌鸦都是黑色的可能性！这就相当于：如果有人把宇宙中所有不是黑的物体都给你看，而你发现所有的物体都不是乌鸦，那你就完全可以断定所有乌鸦都是黑的了。这个“悖论”看上去荒谬只是因为宇宙中 “不是黑的”物体远远多于“乌鸦”，所以发现一个“不是黑的”物体只增加了极其微小的对于“乌鸦都是黑的”的信任度，而相对而言，每发现一只黑的乌鸦就是一个有力的证据了。

　　此外，火鸡思维主张科学始于观察，观察提供科学知识能够赖以确立的可靠基础，而科学知识是用归纳法从有限的观察陈述中推导出来的，所以说这种归纳法得出的结论未必是正确的，甚至可能是非常可笑的。所以乌鸦悖论的手段和方法，正好与火鸡问题相悖，这就是一个对立的哲学命题。

　　除了以上的陈述以外，「归纳法原理」还有另一种形式，就是贝叶斯推理。

　　设 X 为支持论断 T 的一个实例, 而 I 表示我们所有的已知信息。

　　 表示论断 T 成立的几率，已知 X 和 I 都是成立的，可以推得，

　　这里 Pr(T | I) 表示在只有 I 是已知成立的情况下，T 成立的几率；Pr(X | TI) 表示在 T 和 I 都已知成立的情况下，X 成立的几率；而 Pr(X | I) 表示在只有 I 是已知成立的情况下，X 成立的几率.

　　利用这个原理，这个悖论就不会出现了。如果有人随机选一个苹果，那么他看到一个红苹果的几率和「乌鸦」的颜色是完全没有关系的。这时分子等于分母，所以分数等于1，所以以上讨论的几率不会改变。所以看见一只红色的苹果不会增加人们对「乌鸦都是黑色的」的信任度。

　　而如果那人是随叫随到选择一个非黑的物件，那个物件正好是一个红的苹果，那么我们对得到一个分子大于分母的，几乎等于一的假分数。所以在这个情况下，看见一只红苹果确实会极微小地增加我们对「乌鸦都是黑色的」的信任度。

　　其实，随着一个人看到的不是黑色的东西的增加（并发现其中没有乌鸦），「乌鸦都是黑色的」的几率会趋向于1。

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