龜兔悖論

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　　龜兔悖論是古希臘的學者提出的：烏龜先爬了一段在A1點，兔子在起點B點。兔子想要追上烏龜。但是，它在追烏龜的同時烏龜在往前爬。兔子想要追上烏龜，就必須到達烏龜開始所在的點A1.當它到達A1點時，烏龜又爬了一段到達A2點（它們之間的相對距離減小了）.然後兔子又必須追趕到達A2點，可是此時烏龜又到達A3點（它們之間相對距離繼續縮小）.兔子想追上烏龜必須到達A3點，可是烏龜已經爬到A4點……這樣下去，兔子和烏龜之間的距離會越來越小，也就是，一直跑下去，兔子和烏龜之間的距離會達到無窮小，但是，兔子無論如何也追不上烏龜。

　　可以看到這個悖論在邏輯上是沒有問題的，那麼究竟是什麼在出問題呢？經過分析可以發現，這個問題的關鍵就在於：無限小是不是有盡頭？ 兔子和烏龜之間的相對距離會隨著運動變成無限小，但是只有這個相對距離變成0，兔子才能夠追上烏龜， 否則它們之間就隔著一道正無限小的鴻溝。可是在現實之中，兔子追上了烏龜（兔子速度大於烏龜），那麼在數學的理想模型中，正無限小是否有個盡頭呢？

　　詳細來說為了更加清晰地理解和研究這個問題，不妨取一些特殊值來進行計算。例如：

　　如果兔子和烏龜之間的距離是8m，兔子的速度是2m/s，烏龜的速度是1m/s。

　　按照悖論的邏輯，它們的運動過程是這樣：兔子跑完8m用了4s，在這4s中，烏龜又爬了4m。等到兔子跑完4米用了2秒，烏龜又爬了2米……

　　烏龜的起點在A1。兔子的起點在B。兔子和烏龜的距離為8米，隨著時間推移，兔子和烏龜的距離不斷減小：

　　4m、2m、1m、1/2 m、1/4 m、1/8 m ……

　　那麼，可以看出兔子所跑過的距離一共為S1=8+4+2+1+ 1/2+1/4 +1/8…… …… 。同時，烏龜走過的距離一共為S2=4+2+1+ + +…… …… 這兩個涉及無限的式子很難處理，如何計算出它們的值呢？

　　如果我們越過這個無限小，而採用間接的方法來求是極其簡單的：假設烏龜不動，兔子與烏龜的相對速度為1m/s,那麼兔子追上烏龜只需要8s。也就是說，8秒以後，兔子跑了16米，烏龜爬了8米，那麼兔子就追上了烏龜。

　　也就是說兔子是可以追上烏龜的，這個無限小的距離最後被越過了！這就要求，從數學角度來說， 一個無限小的正數在某個條件下最終能夠取到0，這個正無限小的運動必須有個極限！而這個極限就是1/0 再來看一看上面式子，它是一個公比為1/2的等比數列的無限項的和。按照我的理論，無限持續下去就可以達到極限，這裡一共有1/0項，最後一項為0。S1=8+4+2+1+1/2+ 1/4+…… ……+0。既然知道了首項，公比和項數，那麼就可以使用等比數列求和公式來計算了。

　　通過計算結果可以知道，只要承認了1/0的存在，就可以引用極限概念從數學角度解決這個悖論。同時，這將對數學概念產生極大的影響。一個正無限小的趨勢，運行到極限時，就可以取到0。而無限大和無限小運行到極限時，就都會變成一個極限數 。這個觀念如果得到承認，將是一個理念上的巨大突破。