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龟兔悖论

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出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

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什么是龟兔悖论

  龟兔悖论是古希腊的学者提出的:乌龟先爬了一段在A1点,兔子在起点B点。兔子想要追上乌龟。但是,它在追乌龟的同时乌龟在往前爬。兔子想要追上乌龟,就必须到达乌龟开始所在的点A1.当它到达A1点时,乌龟又爬了一段到达A2点(它们之间的相对距离减小了).然后兔子又必须追赶到达A2点,可是此时乌龟又到达A3点(它们之间相对距离继续缩小).兔子想追上乌龟必须到达A3点,可是乌龟已经爬到A4点……这样下去,兔子和乌龟之间的距离会越来越小,也就是,一直跑下去,兔子和乌龟之间的距离会达到无穷小,但是,兔子无论如何也追不上乌龟。

龟兔悖论的分析

  可以看到这个悖论在逻辑上是没有问题的,那么究竟是什么在出问题呢?经过分析可以发现,这个问题的关键就在于:无限小是不是有尽头? 兔子和乌龟之间的相对距离会随着运动变成无限小,但是只有这个相对距离变成0,兔子才能够追上乌龟, 否则它们之间就隔着一道正无限小的鸿沟。可是在现实之中,兔子追上了乌龟(兔子速度大于乌龟),那么在数学的理想模型中,正无限小是否有个尽头呢?

  详细来说为了更加清晰地理解和研究这个问题,不妨取一些特殊值来进行计算。例如:

  如果兔子和乌龟之间的距离是8m,兔子的速度是2m/s,乌龟的速度是1m/s。

  按照悖论的逻辑,它们的运动过程是这样:兔子跑完8m用了4s,在这4s中,乌龟又爬了4m。等到兔子跑完4米用了2秒,乌龟又爬了2米……

  乌龟的起点在A1。兔子的起点在B。兔子和乌龟的距离为8米,随着时间推移,兔子和乌龟的距离不断减小:

  4m、2m、1m、1/2 m、1/4 m、1/8 m ……

  那么,可以看出兔子所跑过的距离一共为S1=8+4+2+1+ 1/2+1/4 +1/8…… …… 。同时,乌龟走过的距离一共为S2=4+2+1+ + +…… …… 这两个涉及无限的式子很难处理,如何计算出它们的值呢?

龟兔悖论的解决

  如果我们越过这个无限小,而采用间接的方法来求是极其简单的:假设乌龟不动,兔子与乌龟的相对速度为1m/s,那么兔子追上乌龟只需要8s。也就是说,8秒以后,兔子跑了16米,乌龟爬了8米,那么兔子就追上了乌龟。

  也就是说兔子是可以追上乌龟的,这个无限小的距离最后被越过了!这就要求,从数学角度来说, 一个无限小的正数在某个条件下最终能够取到0,这个正无限小的运动必须有个极限!而这个极限就是1/0 再来看一看上面式子,它是一个公比为1/2的等比数列的无限项的和。按照我的理论,无限持续下去就可以达到极限,这里一共有1/0项,最后一项为0。S1=8+4+2+1+1/2+ 1/4+…… ……+0。既然知道了首项,公比和项数,那么就可以使用等比数列求和公式来计算了。

  通过计算结果可以知道,只要承认了1/0的存在,就可以引用极限概念从数学角度解决这个悖论。同时,这将对数学概念产生极大的影响。一个正无限小的趋势,运行到极限时,就可以取到0。而无限大和无限小运行到极限时,就都会变成一个极限数 。这个观念如果得到承认,将是一个理念上的巨大突破。

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M id 196b0826cc93e1916207d68f968db26e (Talk | 贡献) 在 2021年7月25日 00:38 发表

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