霍特林引理

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什麼是霍特林引理

　　霍泰林引理給出了利用利潤函數求解供給函數和要素需求函數的方法。霍特林引理為人們尋求生產均衡點提供了方法，既可以不用成本函數而是從利潤函數求出投入要素的最優組合。

　　在廠商利潤最大化的條件下，有 $\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial p}=f(x(p,w))$ ，其中 $\,\!\pi(p,w)=pf(x(p,w))-wx(p,w)$ 為廠商的利潤函數， $\,\!p$ 為要素的價格， $\,\!w$ 為固定的成本， $\,\!x(p,w)$ 為要素需求函數， $\,\!f(x(p,w))$ 為生產函數。

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證明

　　在式 $\,\!\pi(p,w)=pf(x(p,w))-wx(p,w)$ 兩側對 $\,\!p$ 求偏導數得： $\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial p} = f(x(p,w)) + p\frac{\mathrm df(x(p,w))}{\mathrm dx}\cdot\frac{\partial x(p,w)}{\partial p}-w\frac{\partial x(p,w)}{\partial p}$ 。又由最大化的一階條件， $p\frac{\mathrm df(x(p,w))}{\mathrm dx}-w=0$ 。兩側同乘 $\frac{\partial x(p,w)}{\partial p}$ 得到： $p\frac{\mathrm df(x(p,w))}{\mathrm dx}\cdot \frac{\partial x(p,w)}{\partial p}-w\frac{\partial x(p,w)}{\partial p}=0$ ，代入第一條式子即證。