霍奇對偶

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什麼是霍奇對偶

  霍奇對偶是指由蘇格蘭數學家威廉•霍奇引入的一個重要的線性映射。它定義在有限維定向 (數學)定向內積空間的外代數上。

霍奇對偶的維數與代數

  霍奇星運算元在 多重形式|k-形式空間與 (n -k)-形式空間建立了一個對應。一個 k-形式在這個對於下的像稱為這個 k-形式的霍奇對偶k-形式空間的維數是

{n \choose k},\,

  後一個空間的維數是

{n \choose n - k},\,

  又由二項式繫數的對稱性,這兩個維數事實上相等。兩個具有相同維數的形式空間總同構;但不一定有一種自然或典範的方式。但霍奇對偶性利用了向量空間內積和定向,給出了一個特定的同構,因此在代數上這反應了二項式繫數的性質。這也在 k-形式空間上誘導了一個內積。“自然”定義意味著這個對偶性關係在理論中可起幾何作用。

  第一個有趣的情形是在三維歐幾裡得空間 V。在這種情形,帕斯卡三角形相關行是

1, 3, 3, 1

  霍奇對偶在兩個三維空間之間建立起一個同構,一個是 V 自己,另一個是 V 中兩個向量的楔積。具體細節參見#例子|例子一節。叉積只是三維的特殊性質,但霍奇對偶在所有維數都有效。

霍奇對偶的擴張

  由於一個向量空間上 k 個變數的交錯線性形式空間自然同構於那個向量空間上的 k-向量空間的對偶空間|對偶,霍奇對偶也能對這些空間定義。與線性代數的大部分構造一樣,霍奇對偶可以擴張到一個向量叢。這樣的霍奇對偶特別常見的是在餘切叢的外代數(即流形上的微分形式)上,可用來從外導數構造餘微分,以及拉普拉斯-德拉姆運算元,它導致了緊黎曼流形上微分形式的霍奇分解。

k-向量的霍奇星號的正式定義

  一個定向 (數學)|定向內積向量空間 V 上的霍奇星運算元V 的外代數上一個線性運算元,將 k-向量子空間與 (n-k)-向量自空間互換,這裡 n = dim V,0 ≤ kn。它具有如下性質,這些性質完全定義了霍奇星運算元:給定一個定向正交基 e_1,e_2,\cdots,e_n 我們有

*(e_1\wedge e_2\wedge \cdots \wedge e_k)= e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dots \wedge e_n.

星運算元的指標記法

  使用指標記法,霍奇對偶由張量縮並|縮並一個 k-形式與 n-維完全反對稱列維-奇維塔張量的指標得到。這不同於列維-奇維塔符號有一個額外因數 (det g)½,這裡 g 是一個內積(如果 g 不是正定的,比如偽黎曼流形#洛倫茲流形|洛倫茲流形的切空間,則取行列式的絕對值)。

  從而有

(*\eta)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}}= \frac{1}{k!} \eta^{j_1,\ldots,j_k}\,\sqrt {|\det g|} \,\epsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}},\,

  這裡 η 是任意一個反對稱 k 階張量。利用在定義列維-奇維塔張量中同一個內積 g 上升和下降指標。當然也可以對任何張量取星號,所得是反對稱的,因為張量的對稱分量在與完全反對稱列維-奇維塔張量縮並時完全抵消了。

霍奇對偶的例子

  星運算元一個常見例子是在 n = 3,可以做為 3 維向量與斜對稱矩陣之間的對應。這不明顯地使用於向量分析中,例如由兩個向量的楔積產生叉積向量。具體地說,對歐幾裡得空間 R3,容易發現

*\mathrm{d}x=\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z

*\mathrm{d}y=\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x

以及

*\mathrm{d}z=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y

  這裡 dx、dy 與 dzR3 上的標準正交微分1-形式。霍奇對偶在此情形顯然對應於三維中的叉積。

  當 n = 4 時,霍奇對偶作用在第二外冪(6 維)上是自同態。它是一個對合,從而可以分解為子對偶與反自對偶子空間,在這兩個子空間上的作用分別為 +1 和 -1。

  另一個有用的例子是 n = 4 閔可夫斯基時空,具有度量符號為 (+,-,-,-,) 與坐標 (t,x,y,z),對1-形式有

*\,\mathrm{d}t=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z
*\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z
*\,\mathrm{d}y=-\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z
*\,\mathrm{d}z=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y

  對2-形式有

*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}x = - \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z
*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}y =   \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z
*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y
*\, \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y =   \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z
*\, \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y
*\, \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z =   \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x

k-向量的內積

  霍奇對偶在 k-向量空間上誘導了一個內積,即在 V 的外代數上。給定兩個 k-向量 ηζ,有

\zeta\wedge *\eta = \langle\zeta, \eta \rangle\;\omega,\,

這裡 ω 是正規化的體積形式。可以證明 \langle\cdot,\cdot\rangle 是一個內積,它是半雙線性的,並定義了一個範數。反之,如果在 Λk(V) 上給了一個內積,則這個等式可以做為霍奇對偶的另一種定義[1]

  本質上,V 的正交基元素的楔積組成了 V 的外代數的一個正交基。當霍奇星號擴張到流形上,可以證明體積形式能寫做

\omega=\sqrt{|\det g_{ij}|}\;dx^1\wedge\ldots\wedge dx^n,\,

  其中 gij 是流形的度量張量|度量。

霍奇對偶的對偶性

  當作用兩次時霍奇星號定義了一個對偶,不考慮符號的話,所得結果是外代數上一個恆等式。給定 n-維空間 V 上一個 k-向量 \eta \in \Lambda^k (V),我們有

**\eta=(-1)^{k(n-k)}s\;\eta,\,

  這裡 sV 上內積的度量符號|符號有關。具體說,s 是內積張量行列式的符號。例如,如果 n = 4 時,若內積的符號是 (+,-,-,-) 或 (-,+,+,+) 則 s = -1。對普通的歐幾裡得空間,符號總是正的,所以 s = +1。在普通向量空間,這一般不是一個問題。當霍奇星號擴張到偽-黎曼流形上時,上面的內積理解為對角形式的度量。

流形上的霍奇星號

  在一個 n-維定向黎曼流形|黎曼或偽黎曼流形|偽黎曼流形上每一點的切空間上可以重覆如上構造,將得到 微分形式|k-形式的霍奇對偶,是一個 n- k 形式。霍奇星號在流形上的微分形式上誘導了一個 Lp空間|L2-範數。對 Λk(M) 的截面 (纖維叢)|空間截面 ηζ,其內積可寫做

(\eta,\zeta)=\int_M \eta\wedge *\zeta.\,

  (截面的集合通常記做 Ωk(M) = Γ(Λk(M));裡面的元素稱為外 k-形式。)

  更一般地,在非定向情形,我們可以定義 k-形式的霍奇星號維一個 (n - k)-偽張量|偽微分形式;即取值於典範線叢的一個微分形式。

餘微分

霍奇星號在流形上最重要的應用是用來定義餘微分 δ。令

\delta = (-1)^{nk + n + 1} *d*\,

  這裡 d 是外導數。對黎曼流形 s = +1 。

d:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k+1}(M),\,

\delta:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k-1}(M).\,

  相比於外導數,餘微分不是外代數上的反導子。

  餘微分在是外微分的伴隨運算元伴隨:

\langle \delta \zeta, \eta\rangle = \langle \zeta, d\eta\rangle .\,

  這個恆等式是因為體積形式 ω 滿足 dω = 0,從而

\int_M d(\zeta \wedge *\eta)=0.\,

  拉普拉斯–貝爾特拉米運算元|拉普拉斯–德拉姆運算元由

Δ = δd + dδ

  給出,是霍奇理論的核心。它有對稱性:

\langle\Delta \zeta,\eta\rangle = \langle\zeta,\Delta \eta\rangle,\,

以及非負:

\langle\Delta\eta,\eta\rangle \ge 0.\,

  霍奇星號將一個調和形式變成調和形式。作為霍奇定理的一個推論,德拉姆上同調自然同構於調和 k-形式空間,從而霍奇星號誘導了上同調群之間一個同構

\star : H^k_\Delta(M)\to H^{n-k}_\Delta(M),\,

通過龐加萊對偶性,這給出了 Hk(M) 與它的對偶空間的一個典範等價。

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