阿爾澤拉－阿斯科利定理
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在數學中，阿爾澤拉﹣阿斯科利定理是指泛函分析中的一個定理，給出了一個從緊集度量空間射到度量空間的函數集合是否在關於一致收斂的拓撲意義上是緊集的充分必要條件。其中主要涉及的條件是函數集的等度連續性質。
等度連續的概念大約是在十九世紀的八十年代由兩位義大利數學家：吉烏里奧•阿斯科利（1883年﹣1884年）[1] 和凱撒•阿爾澤拉（1882年﹣1883年）[2]提出的。阿斯科利在1883年的論文中證明瞭定理中關於成為緊集的充分性部分，而阿爾澤拉則在1895年的另一篇論文中證明瞭定理的另一部分：成為緊集的必要條件，並首次給出了定理的完整證明。[3]而不久之後，在1906年，法國數學家莫裡斯•弗雷歇又將這個定理進行了推廣，使得在任意的能夠定義極限的空間中都有同樣的結果（比如度量空間或豪斯多夫空間）。
阿爾澤拉-阿斯卡利定理是數學領域的一個基本結果。它是常微分方程組理論中的皮亞諾存在性定理的證明中不可或缺的一環，也是複分析中的蒙泰爾定理的證明中的重要組成部分。此外，它更是彼得-外爾定理的證明的關鍵。
以下是在定理的敘述和證明中將會用到的概念。
設 K 為一個緊集的豪斯多夫空間。
為從 K 射到 
的連續函數的集合。此集合的一個子集
被稱為'等度連續'的，當且僅當對任意的 x ∈ K 和任意 ε > 0，存在 x 的鄰域 Ux 使得對所有的 
以及 ƒ ∈ F，都有：
| f(y) − f(x) | < ε
集合 被稱為'逐點有界'，如果對所有的 x ∈ K，都有：
。
作為對比，一個集合 被稱作'一致有界'，如果其中所有的函數的一致範數（絕對值的上確界）都小於某一個常數。
最簡單的情況是在實數域上，這時的阿爾澤拉-阿斯科利定理的形式為：
考慮一個定義在實數軸中的有界閉區間 [a, b] 上的實數值函數序列 (fn)n∈N。如果這個序列是一致有界並且等度連續的，那麼必定這個函數序列中存在一個子序列 (fnk) 是一致收斂的。
設 (fn)n∈'N' 是一個一致有界、可導，並且導數也是一致有界的函數序列，那麼 (fn)n∈N 這個序列滿足阿爾澤拉-阿斯科利定理的條件，因為可以證明它也是等度連續的。因此，這個函數列擁有一個一致收斂的子序列。
實數域上的阿爾澤拉-阿斯科利定理很容易推廣到多維空間Rd 上。證明也十分簡單：只需要在子序列里繼續應用阿爾澤拉-阿斯科利定理即可，這樣連續提取 d 次子序列之後就可以得到在 Rd 上一致收斂的子序列。
對於一般的度量空間，阿爾澤拉-阿斯科利定理定義如下：
設 X 為一個緊度量空間，Y 為一個度量空間，那麼 C(X,Y) 的子集 F 在緊致開拓撲中是緊致的當且僅當它是等度連續、逐點相對緊致的閉集。
這裡，C(X,Y) 表示從 X 射到 Y 的連續函數的集合。而它的子集 F 被稱作'逐點相對緊致'當且僅當 
，集合 {f(x):f is in F} 都是 Y 中相對緊致的子集。如果一個集合在緊致開拓撲中是緊致的，那麼它之中的所有序列都擁有一個一致收斂到其中的子序列。
更廣泛地，對於 X 是緊豪斯多夫空間的情況，定理一樣成立：[4]
設 X 為一個緊度量空間，那麼 C(X,Y) 的子集 F 在緊致開拓撲中是緊致的當且僅當它是等度連續、逐點相對緊致的閉集。
阿爾澤拉-阿斯科利定理是對於緊豪斯多夫空間上的連續函數的代數性質的研究中的一個重要結果。進一步的研究可以將上面的結果進行進一步的推廣。比如說，函數的取值空間可以變為豪斯多夫的拓撲向量空間，這時仍然有基本相同的定理。[5][6]
- ↑ Ascoli, G. (1883–1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521–586 .
- ↑ Arzelà, Cesare (1882–1883), "Un'osservazione intorno alle serie di funzioni", Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142–159 .
- ↑ Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 5 (5): 55–74 .
- ↑ Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume 1, Wiley-Interscience
- ↑ Kelley, J. L.; Namioka, I. (1982), Linear Topological Spaces, Springer-Verlag, ISBN 978-0387901695
- ↑ Kelley, J. L. (1975), General topology, Springer-Verlag, ISBN 978-0387901251
