阿尔泽拉-阿斯科利定理

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什么是阿尔泽拉﹣阿斯科利定理

  在数学中,阿尔泽拉﹣阿斯科利定理是指泛函分析中的一个定理,给出了一个从紧集度量空间射到度量空间的函数集合是否在关于一致收敛的拓扑意义上是紧集的充分必要条件。其中主要涉及的条件是函数集的等度连续性质。

  等度连续的概念大约是在十九世纪的八十年代由两位意大利数学家:吉乌里奥•阿斯科利(1883年﹣1884年)[1] 和凯撒•阿尔泽拉(1882年﹣1883年)[2]提出的。阿斯科利在1883年的论文中证明了定理中关于成为紧集的充分性部分,而阿尔泽拉则在1895年的另一篇论文中证明了定理的另一部分:成为紧集的必要条件,并首次给出了定理的完整证明。[3]而不久之后,在1906年,法国数学家莫里斯•弗雷歇又将这个定理进行了推广,使得在任意的能够定义极限的空间中都有同样的结果(比如度量空间或豪斯多夫空间)。

  阿尔泽拉-阿斯卡利定理是数学领域的一个基本结果。它是常微分方程组理论中的皮亚诺存在性定理的证明中不可或缺的一环,也是複分析中的蒙泰尔定理的证明中的重要组成部分。此外,它更是彼得-外尔定理的证明的关键。

阿尔泽拉﹣阿斯科利定理的预备概念

  以下是在定理的叙述和证明中将会用到的概念。

  设 K 为一个紧集的豪斯多夫空间。C(K, \mathbf{R})为从 K 射到 \mathbf{R}的连续函数的集合。此集合的一个子集\mathcal{F} \subset C(K, \mathbf{R}) 被称为'等度连续'的,当且仅当对任意的 x ∈ K 和任意 ε > 0,存在 x 的邻域 Ux 使得对所有的 y \in U_x 以及 ƒ ∈ F,都有:

   | f(y) − f(x) | < ε

  集合  \mathcal{F} \subset C(K, \mathbf{R})  被称为'逐点有界',如果对所有的 x ∈ K,都有:

  \sup \{ | f(x) | : f \in \mathcal{F} \} < \infty

  作为对比,一个集合  \mathcal{F} \subset C(K, \mathbf{R})  被称作'一致有界',如果其中所有的函数的一致范数(绝对值的上确界)都小于某一个常数。

阿尔泽拉﹣阿斯科利定理的相关内容

实数域上的情况

  最简单的情况是在实数域上,这时的阿尔泽拉-阿斯科利定理的形式为:

  考虑一个定义在实数轴中的有界闭区间 [a, b] 上的实数值函数序列 (fn)n∈N。如果这个序列是一致有界并且等度连续的,那么必定这个函数序列中存在一个子序列 (fnk) 是一致收敛的。

例子

  设 (fn)n∈'N' 是一个一致有界、可导,并且导数也是一致有界的函数序列,那么 (fn)n∈N 这个序列满足阿尔泽拉-阿斯科利定理的条件,因为可以证明它也是等度连续的。因此,这个函数列拥有一个一致收敛的子序列。

推广

  实数域上的阿尔泽拉-阿斯科利定理很容易推广到多维空间Rd 上。证明也十分简单:只需要在子序列里继续应用阿尔泽拉-阿斯科利定理即可,这样连续提取 d 次子序列之后就可以得到在 Rd 上一致收敛的子序列。

紧度量空间和紧豪斯多夫空间

  对于一般的度量空间,阿尔泽拉-阿斯科利定理定义如下:

  设 X 为一个紧度量空间,Y 为一个度量空间,那么 C(X,Y) 的子集 F 在紧致开拓扑中是紧致的当且仅当它是等度连续、逐点相对紧致的闭集。

  这里,C(X,Y) 表示从 X 射到 Y 的连续函数的集合。而它的子集 F 被称作'逐点相对紧致'当且仅当 \forall x \in X,集合 {f(x):f is in F} 都是 Y 中相对紧致的子集。如果一个集合在紧致开拓扑中是紧致的,那么它之中的所有序列都拥有一个一致收敛到其中的子序列。

  更广泛地,对于 X 是紧豪斯多夫空间的情况,定理一样成立:[4]

  设 X 为一个紧度量空间,那么 C(X,Y) 的子集 F 在紧致开拓扑中是紧致的当且仅当它是等度连续、逐点相对紧致的闭集。

  阿尔泽拉-阿斯科利定理是对于紧豪斯多夫空间上的连续函数的代数性质的研究中的一个重要结果。进一步的研究可以将上面的结果进行进一步的推广。比如说,函数的取值空间可以变为豪斯多夫的拓扑向量空间,这时仍然有基本相同的定理。[5][6]

参考文献

  1. Ascoli, G. (1883–1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521–586 .
  2. Arzelà, Cesare (1882–1883), "Un'osservazione intorno alle serie di funzioni", Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142–159 .
  3. Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 5 (5): 55–74 .
  4. Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume 1, Wiley-Interscience
  5. Kelley, J. L.; Namioka, I. (1982), Linear Topological Spaces, Springer-Verlag, ISBN 978-0387901695
  6. Kelley, J. L. (1975), General topology, Springer-Verlag, ISBN 978-0387901251
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