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老虎悖論

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  老虎悖論——博弈論中一個著名的邏輯悖論

目錄

老虎悖論的故事

  國王要處決一個囚犯,但給他一個生還的機會。囚犯被帶到5扇緊閉的門前,其中一扇後面關著一隻老虎。國王對囚犯說:“你必須依次打開這些門。我可以肯定的是,在你沒有打開關著老虎的那扇門之前,你是無法知道老虎是在那扇門後。”顯然,如果囚犯有可能在打開有老虎的那扇門前知道,就證明國王在撒謊,那麼就可以活命。 開門之前,囚犯進行瞭如下分析:

  假如老虎在第五扇門,那當他把前四扇門打開後都沒發現老虎,那他肯定猜到老虎在第五扇門中,因國王說過不論何時他也料不到老虎在哪扇門後,那國王的說話就錯了。因此,老虎肯定不在第五扇門中。

  同樣道理,老虎也不在第四道門中,否則囚犯打開三道門後,只剩兩道門,老虎既不在第五扇門後,那就會給他料到在第四扇門後;

  依次類推,老虎不存在任何一道門後;囚犯這時就不再多想,冒冒失失依次推門,結果老虎從第二扇門中跳了出來,把囚犯咬死了。國王看見了說:“不是跟你說了老虎在哪扇門後總是出乎你的意料了嗎?現在你就是意料不到了。”

悖論分析

  如果囚犯的推理成立,那麼就算國王把老虎放在第五扇門後,也是“料想不到”,學者們爭論的重點在於:這個推理究竟錯在第幾步?

主張錯在第一步

  如果第一步是正確的,那麼後面幾步為什麼是錯的?所以第一步就錯了。錯在囚犯把國王的思路作為論據。

  首先必須定義怎樣算國王所謂的“知道”(或“意料”),如果投機猜測算的話,那國王不論怎樣放都不能保證不被猜中,所以帶投機成分的猜測不能算“ 知道”(國王為了自身利益也會這麼定義),設“知道”定義為“在即有事實下的邏輯推理”,那麼囚犯不僅要正確預測老虎,還要對其預測給出嚴格的邏輯證明才行。本例中不考慮沒有老虎的情況,即囚犯已知必有1老虎。作為囚犯,他在每次打開一個門前都會進行邏輯推理,如果能推出老虎是在即將打開的門裡就贏了,如果不能推出,他就只能打開這個門,如果打開後沒有老虎就繼續推理下一個門是否有老虎,依此類推。

  然後,把問題從5個門簡化為只有2個門,囚犯會在打開第一個門之前,對第一個門裡是否有老虎做邏輯推理:由於囚犯要引用國王的思路,故須先考慮國王思路是否是會錯。

  (1)如果相信國王是不會錯的,那麼你不可能推測出第一個門裡有沒有,因為如果推測出就說明國王會錯,所以在這個前提下不可能知道。 囚犯無法推測出第一個門裡有沒有老虎,必然要打開第一個門。

  (2)如果相信國王是會錯的:囚犯首先認為國王放第二個門是錯的,但國王既然是會錯的,他為何不會按囚犯認為錯誤的思路放第二個門呢?所以國王的思路就沒法唯一的推測了。囚犯失去國王的思路做論據,無法推測出第一個門裡有沒有老虎,必然要打開第一個門。

  因此國王應且只應放到第一個門中,則國王必勝。

  推廣到n個門的情況,只要只要國王不把老虎放到最後一個門,則國王必勝,囚犯必敗。

主張錯在第二步

  故事中的囚犯最後決定相信“沒有老虎”。但,國王並不知道囚犯是否會這樣,所以的確不可能把老虎放在第五扇門。如果囚犯決定相信“一定有老虎”,那麼在前四扇門都沒有老虎之後,第五扇門後的老虎的確就變成“可預料的”了。

  既然老虎在第五扇門的話,它一定是“可預料的”,那麼當你已經開了三扇空門時,情況是怎麼樣?我們可以試著寫成邏輯式子:前提一、老虎不可預料。前提二、老虎如果在第五扇門時,可預料。前提三、老虎不在第五扇門時,就一定在第四扇門。前提四、老虎如果在第四扇門時,可預料。結論:前提互相矛盾。

  請註意:這時的邏輯推理中,既然前提互相矛盾,必定有一個以上不成立,那麼可能性就是以下四個其中之一、或是更多:

  • 一、老虎可預料。
  • 二、老虎如果在第五扇門時,不可預料。
  • 三、老虎不在第五扇門時,也不一定在第四扇門。
  • 四、老虎如果在第四扇門時,不可預料。

  二和四自身是矛盾命題,不考慮,三會導致老虎變成薛定諤的貓,也就是既存在亦非存在的狀態(囚犯把老虎往前門推是錯誤的,因為前提中包含“已經開了三扇空門”)。所以可能性只有一個:老虎可預料。但若老虎可預料,那麼顯示國王說謊,如果國王可能說謊,那麼老虎也真的有可能消失。

  這時的正確結論是:國王一定說謊,但他的謊言可能是“老虎可預料”,卻也可能是“根本沒老虎”,囚犯只是偏心於一個可能性,結果幫國王圓謊罷了。

主張錯在最後一步

  如果“不可預料”並不是一種保證,而只意味“高機率”,“有老虎”才是保證,那麼情況又整個改觀。可以列成以下狀況:

  如果囚犯連猜五次“老虎不在”,則不可預料率100%,當然是最糟的狀況。

  如果囚犯連猜五次“老虎在”,這時應將不可預料率一樣視為100%。假設國王隨便放,因為平均猜錯次數是兩次,亦即猜錯一次要加不可預料率50%才公平。

  假設國王隨便放,這時囚犯採用的策略,以:

  • 先兩次不猜,再連續猜老虎在:成功率0、0、100、50、0,平均30最高分
  • 先三次不猜,再連續猜老虎在:成功率0、0、0、100、50,平均也是30最高分
  • 但以上兩種高分解,前兩扇門都是安全門,必須混合下列解答靈活運用
  • 如果第一次就猜老虎在:成功率100、-50、-50、50、0,平均只有10分
  • 如果第二次就猜老虎在:成功率0、100、50、0、-50,平均也有20分
  • 為了便於計算,假設這四種策略囚犯都平均運用,綜合以上,老虎放在不同門的平均不可預料率,75%、87.5%、75%、50%、100%

  很明顯了,這時國王的對應策略,如果把老虎放在失分最低的第五扇門,可能被囚犯豪賭賭中,所以把老虎放在失分次低的第二扇門會是最佳選擇,只要把囚犯的猜中率壓在20%以下,都可以毫無愧色說是有很高的不可預料率。

  他應該從“老虎不存在”這個矛盾的結論,導出國王所謂的“不可預料”其實是指機率,再從機率上推測國王到底把老虎放在第幾個門。

老虎悖論的實例

  老師宣佈下星期一至星期五其中一日之中,會有一天舉行突擊測驗。學生認為根本不存在突擊測驗。若假設直到星期四還未舉行測驗,那麼星期五就會舉行,那就不算突擊,因此星期五不會舉行。若星期三還未舉行,而星期五又不會舉行,星期四就會舉行……如此類推,老師不可能進行突擊測驗。

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評論(共14條)

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曹风周 (討論 | 貢獻) 在 2017年6月6日 10:45 發表

水平低 看不懂

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Calata (討論 | 貢獻) 在 2017年6月6日 12:04 發表

以前看悖論的一本書有提到這個悖論。但是沒太多討論研究,這裡居然能看到解說版的。開心 : D

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饰邪 (討論 | 貢獻) 在 2017年6月6日 22:49 發表

後面沒看懂

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望天涯 (討論 | 貢獻) 在 2017年6月9日 09:57 發表

哈~大概我要看好多遍了。

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113.106.5.* 在 2017年6月9日 16:08 發表

有點像自欺欺人

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幕楚西秦 (討論 | 貢獻) 在 2017年6月9日 21:20 發表

冒泡。。

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李苇钰 (討論 | 貢獻) 在 2017年6月11日 07:54 發表

不合理的推論怎麼得出合理的結果

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Use4live (討論 | 貢獻) 在 2017年6月12日 19:26 發表

所謂邏輯悖論,指的是參與者同時又是裁判的情況。反過來可以說,如果跟一個定規則的人玩賭博,怎麼都是輸,因為既定規則又參與游戲,本身就是一個邏輯悖論。這和其他領域的邏輯悖論的道理完全相同。 所以後面的分析。。。挺沒有說服力的

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113.85.243.* 在 2017年6月19日 08:57 發表

沒看懂,臉紅

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58.176.191.* 在 2018年10月7日 06:57 發表

悖論是邏輯不能生效的地方, 佛學就是指引

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M id 360f6e5439f7cb2d76cddec4a2624f53 (討論 | 貢獻) 在 2021年1月4日 11:05 發表

我也沒有看懂

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M id 360f6e5439f7cb2d76cddec4a2624f53 (討論 | 貢獻) 在 2021年1月4日 11:07 發表

假如星期二沒有測驗,星期三下午突然就宣佈要測驗了,那算不算突擊,算啊。這個悖論感覺很亂。

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M id 03f8d83e8707ee898863c34595f15368 (討論 | 貢獻) 在 2021年1月4日 14:22 發表

國王要處決一個囚犯,但給他一個生還的機會。囚犯被帶到5扇緊閉的門前,其中一扇後面關著一隻老虎。

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M id 7216a4730ee2509da36a68d72ae5869e (討論 | 貢獻) 在 2021年1月4日 22:07 發表

不按順序就行了啊

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