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積分第一中值定理

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什麼是積分第一中值定理

  積分第一中值定理是積分中值定理的推廣之一,此外還有積分第二中值定理。積分中值定理揭示了一種將積分化為函數值, 或者是將複雜函數的積分化為簡單函數的積分的方法。是數學分析的基本定理和重要手段, 在求極限、判定某些性質點、估計積分值等方面應用廣泛。

  設 f:[a,b]\rightarrow \mathbf R 為一連續函數,g:[a,b]\rightarrow \mathbf R 為一正的可積函數,那麼存在一點 \xi\in [a,b] 使得

  如果函數 在閉區間 上連續, 在 上不變號,並且 在閉區間 上是可積的,則在 上至少存在一個點 ,使下式成立:

  \int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx

  事實上,可以證明,上述的中值點ξ必能在開區間(a,b)內取得,見下方中值點在開區間記憶體在的證明。

積分第一中值定理的證明

  因為 f\ 是閉區間上的連續函數,f\ 取得最大值 \Mu\ 和最小值 \mu\。於是

  \Mu g(x)\geq f(x)g(x)\geq\mu g(x)

  對不等式求積分,我們有

  \Mu\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x\geq\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x\geq\mu\int_a^b g(x){\rm{d}}x

  若 \int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x=0,則 \int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x=0\xi\ 可取 [\alpha,\beta]\ 上任一點。

  設 \int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x>0,那麼

  \Mu\geq\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}\geq\mu

  因為 \Mu\geq f(x)\geq\mu是連續函數,則必存在一點 \xi\in[\alpha,\beta],使得

  f(\xi)=\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}

中值點在開區間記憶體在的證明

  已知f(x)[a,b]上連續,設F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt

  知F(x)[a,b]上連續,在[a,b]內可導,應用拉格朗日中值定理,可得:

  \frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi),其中\xi\in(a,b)

  即

  \frac{\int_{a}^{b} f(t)\, dt-\int_{a}^{a} f(t)\, dt}{b-a}=f(\xi)

  所以

  \int_{a}^{b} f(x)\, dx=f(\xi)(b-a), \xi\in(a,b)

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