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積分第一中值定理

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目錄

1 什麼是積分第一中值定理
2 積分第一中值定理的證明
- 2.1 中值點在開區間記憶體在的證明

什麼是積分第一中值定理

　　積分第一中值定理是積分中值定理的推廣之一，此外還有積分第二中值定理。積分中值定理揭示了一種將積分化為函數值，或者是將複雜函數的積分化為簡單函數的積分的方法。是數學分析的基本定理和重要手段，在求極限、判定某些性質點、估計積分值等方面應用廣泛。

　　設 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf R$ 為一連續函數， $g:[a,b]\rightarrow \mathbf R$ 為一正的可積函數，那麼存在一點 $\xi\in [a,b]$ 使得

　　如果函數在閉區間上連續，在上不變號，並且在閉區間上是可積的，則在上至少存在一個點，使下式成立：

　　 $\int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx$ 。

　　事實上，可以證明，上述的中值點 $ξ$ 必能在開區間 $(a, b)$ 內取得，見下方中值點在開區間記憶體在的證明。

積分第一中值定理的證明

　　因為 $f\$ 是閉區間上的連續函數， $f\$ 取得最大值 $\Mu\$ 和最小值 $\mu\$ 。於是

　　 $\Mu g(x)\geq f(x)g(x)\geq\mu g(x)$ 。

　　對不等式求積分，我們有

　　 $\Mu\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x\geq\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x\geq\mu\int_a^b g(x){\rm{d}}x$ 。

　　若 $\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x=0$ ，則 $\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x=0$ 。 $\xi\$ 可取 $[\alpha,\beta]\$ 上任一點。

　　設 $\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x>0$ ，那麼

　　 $\Mu\geq\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}\geq\mu$ 。

　　因為 $\Mu\geq f(x)\geq\mu$ 是連續函數，則必存在一點 $\xi\in[\alpha,\beta]$ ，使得

　　 $f(\xi)=\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}$ 。

中值點在開區間記憶體在的證明

　　已知 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上連續，設 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt$ 。

　　知 $F (x)$ 在 $[a, b]$ 上連續，在 $[a, b]$ 內可導，應用拉格朗日中值定理，可得：

　　 $\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi)$ ，其中 $\xi\in(a,b)$

　　即

　　 $\frac{\int_{a}^{b} f(t)\, dt-\int_{a}^{a} f(t)\, dt}{b-a}=f(\xi)$

　　所以

　　 $\int_{a}^{b} f(x)\, dx=f(\xi)(b-a), \xi\in(a,b)$ 。

取自"https://wiki.mbalib.com/zh-tw/%E7%A7%AF%E5%88%86%E7%AC%AC%E4%B8%80%E4%B8%AD%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86"

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頁面分類: 數學定理

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