积分第一中值定理

用手机看条目

出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

目录

什么是积分第一中值定理

  设 f:[a,b]\rightarrow \mathbf R 为一连续函数,g:[a,b]\rightarrow \mathbf R 为一正的可积函数,那么存在一点 \xi\in [a,b] 使得

  \int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx

  事实上,可以证明,上述的中值点ξ必能在开区间(a,b)内取得,见下方中值点在开区间内存在的证明。

积分第一中值定理的证明

  因为 f\ 是闭区间上的连续函数,f\ 取得最大值 \Mu\ 和最小值 \mu\。于是

  \Mu g(x)\geq f(x)g(x)\geq\mu g(x)

  对不等式求积分,我们有

  \Mu\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x\geq\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x\geq\mu\int_a^b g(x){\rm{d}}x

  若 \int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x=0,则 \int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x=0\xi\ 可取 [\alpha,\beta]\ 上任一点。

  设 \int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x>0,那么

  \Mu\geq\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}\geq\mu

  因为 \Mu\geq f(x)\geq\mu是连续函数,则必存在一点 \xi\in[\alpha,\beta],使得

  f(\xi)=\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}

中值点在开区间内存在的证明

  已知f(x)[a,b]上连续,设F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt

  知F(x)[a,b]上连续,在[a,b]内可导,应用拉格朗日中值定理,可得:

  \frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi),其中\xi\in(a,b)

  即

  \frac{\int_{a}^{b} f(t)\, dt-\int_{a}^{a} f(t)\, dt}{b-a}=f(\xi)

  所以

  \int_{a}^{b} f(x)\, dx=f(\xi)(b-a), \xi\in(a,b)

本条目对我有帮助20
MBA智库APP

扫一扫,下载MBA智库APP

分享到:
  如果您认为本条目还有待完善,需要补充新内容或修改错误内容,请编辑条目

本条目由以下用户参与贡献

Tracy.

评论(共0条)

提示:评论内容为网友针对条目"积分第一中值定理"展开的讨论,与本站观点立场无关。

发表评论请文明上网,理性发言并遵守有关规定。

MBA智库
打开APP

以上内容根据网友推荐自动排序生成