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积分第一中值定理

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目录

1 什么是积分第一中值定理
2 积分第一中值定理的证明
- 2.1 中值点在开区间内存在的证明

什么是积分第一中值定理

　　积分第一中值定理是积分中值定理的推广之一，此外还有积分第二中值定理。积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法。是数学分析的基本定理和重要手段，在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。

　　设 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf R$ 为一连续函数， $g:[a,b]\rightarrow \mathbf R$ 为一正的可积函数，那么存在一点 $\xi\in [a,b]$ 使得

　　如果函数在闭区间上连续，在上不变号，并且在闭区间上是可积的，则在上至少存在一个点，使下式成立：

　　 $\int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx$ 。

　　事实上，可以证明，上述的中值点 $ξ$ 必能在开区间 $(a, b)$ 内取得，见下方中值点在开区间内存在的证明。

积分第一中值定理的证明

　　因为 $f\$ 是闭区间上的连续函数， $f\$ 取得最大值 $\Mu\$ 和最小值 $\mu\$ 。于是

　　 $\Mu g(x)\geq f(x)g(x)\geq\mu g(x)$ 。

　　对不等式求积分，我们有

　　 $\Mu\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x\geq\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x\geq\mu\int_a^b g(x){\rm{d}}x$ 。

　　若 $\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x=0$ ，则 $\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x=0$ 。 $\xi\$ 可取 $[\alpha,\beta]\$ 上任一点。

　　设 $\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x>0$ ，那么

　　 $\Mu\geq\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}\geq\mu$ 。

　　因为 $\Mu\geq f(x)\geq\mu$ 是连续函数，则必存在一点 $\xi\in[\alpha,\beta]$ ，使得

　　 $f(\xi)=\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}$ 。

中值点在开区间内存在的证明

　　已知 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，设 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt$ 。

　　知 $F (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $[a, b]$ 内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：

　　 $\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi)$ ，其中 $\xi\in(a,b)$

　　即

　　 $\frac{\int_{a}^{b} f(t)\, dt-\int_{a}^{a} f(t)\, dt}{b-a}=f(\xi)$

　　所以

　　 $\int_{a}^{b} f(x)\, dx=f(\xi)(b-a), \xi\in(a,b)$ 。

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