格林定理

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什麼是格林定理

　　在物理學與數學中， 格林定理是指鏈接了一個封閉曲線上的線積分與一個邊界為C且平面區域為 D 的雙重積分。

　　格林定理是斯托克斯定理的二維特例，以英國數學家喬治•格林（George Green）命名。

　　設閉區域D由分段光滑的簡單曲線L圍成，函數P（x, y）及Q (x, y}在 D上具有一階連續偏導數，則有

　 $\iint\limits_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_{L^{+}}(Pdx+Qdy)$

　　其中L是D的取正向的邊界曲線。格林公式還可以用來計算平面圖形的面積。

　　此公式叫做格林公式，它給出了沿著閉曲線C的曲線積分與C所包圍的區域D上的二重積分之間的關係。

　　以下是特殊情況下定理的一個證明，其中D是一種I型的區域，C₂和C₄是豎直的直線。對於II型的區域D，其中C₁和C₃是水平的直線。

　　如果我們可以證明

　　 $\int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}$

　　以及

　　 $\int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}$

　　那麼就證明瞭格林公式是正確的。

　　把右圖中I型的區域D定義為： $D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}$ 其中g₁和g₂是區間[a, b]內的連續函數。計算(1)式中的二重積分：

$\iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA$	$=\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L (x,y)}{\partial y}\, dy\, dx \right]$
	$= \int_a^b \Big\{L(x,g_2(x)) - L(x,g_1(x)) \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}$

　　現在計算(1)式中的曲線積分。C可以寫成四條曲線C₁、C₂、C₃和C₄的並集。

　　對於C₁，使用參數方程：x = x，y = g₁(x)，a ≤ x ≤ b。那麼：

　　 $\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L(x,g_1(x))\Big\}\, dx$

　　對於C₃，使用參數方程：x = x，y = g₂(x)，a ≤ x ≤ b。那麼：

　　 $\int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx$

　　沿著C₃的積分是負數，因為它是沿著反方向從b到a。在C₂和C₄上，x是常數，因此： $\int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0$

所以：

$\int_{C} L\, dx$	$= \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y)\, dx + \int_{C_4} L(x,y)\, dx$
	$= -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)}$