格林定理

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什么是格林定理

  在物理学与数学中, 格林定理是指链接了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为C且平面区域为 D 的双重积分。

  格林定理是斯托克斯定理的二维特例,以英国数学家乔治•格林(George Green)命名。

  设闭区域D由分段光滑的简单曲线L围成,函数P(x, y)及Q (x, y}在 D上具有一阶连续偏导数,则有

 \iint\limits_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_{L^{+}}(Pdx+Qdy)

  其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

  此公式叫做格林公式,它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。

格林定理在特殊情况的证明

  以下是特殊情况下定理的一个证明,其中D是一种I型的区域,C2和C4是竖直的直线。对于II型的区域D,其中C1和C3是水平的直线。

  如果我们可以证明

  \int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}

  以及

  \int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}

  那么就证明了格林公式是正确的。

  把右图中I型的区域D定义为:D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\} 其中g1和g2是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分:

\iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA =\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L (x,y)}{\partial y}\, dy\, dx \right]
= \int_a^b \Big\{L(x,g_2(x)) - L(x,g_1(x)) \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}

  现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C1、C2、C3和C4的并集。

  对于C1,使用参数方程:x = x,y = g1(x),a ≤ x ≤ b。那么:

  \int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L(x,g_1(x))\Big\}\, dx

  对于C3,使用参数方程:x = x,y = g2(x),a ≤ x ≤ b。那么:

  \int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx

  沿着C3的积分是负数,因为它是沿着反方向从b到a。在C2和C4上,x是常数,因此:\int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0

所以:

\int_{C} L\, dx = \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y)\, dx + \int_{C_4} L(x,y)\, dx
= -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)}

(3)和(4)相加,便得到(1)。类似地,也可以得到(2)。

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