格林定理
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在物理学与数学中, 格林定理是指链接了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为C且平面区域为 D 的双重积分。
格林定理是斯托克斯定理的二维特例,以英国数学家乔治•格林(George Green)命名。
设闭区域D由分段光滑的简单曲线L围成,函数P(x, y)及Q (x, y}在 D上具有一阶连续偏导数,则有
其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。
此公式叫做格林公式,它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。
以下是特殊情况下定理的一个证明,其中D是一种I型的区域,C2和C4是竖直的直线。对于II型的区域D,其中C1和C3是水平的直线。
如果我们可以证明
以及
那么就证明了格林公式是正确的。
把右图中I型的区域D定义为: 其中g1和g2是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分:
现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C1、C2、C3和C4的并集。
对于C1,使用参数方程:x = x,y = g1(x),a ≤ x ≤ b。那么:
对于C3,使用参数方程:x = x,y = g2(x),a ≤ x ≤ b。那么:
沿着C3的积分是负数,因为它是沿着反方向从b到a。在C2和C4上,x是常数,因此:
所以:
(3)和(4)相加,便得到(1)。类似地,也可以得到(2)。