本福特法則

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本福特法則（Benford's law）

　　本福特法則，也稱“本福特定律”，以提出者物理學家本福特的名字命名，指的是一堆從實際生活得出的數據中，以1為首位數字的數的出現機率約為總數的三成，接近期望值1/9的3倍，推廣來說，越大的數字，以它為首幾位的數出現的機率就越低；精確地數學表述為：在b進位制中，以數n起頭的數出現的機率為logb(n + 1) − logb(n)^[1]。

　　本福特定律產生的根源，就在於指數增長。而指數增長的形式在自然界是十分普遍的，只要一個變數的增長率和他的大小成正比，結果就會是指數增長。比如說人類科技發展的速度大致和已有的科技成果成正比，所以人類的科技發展就是個指數增長；人口增長率會和已存在人口數成正比，因此沒有資源限制的人口增長也是指數增長。指數增長是自然中極為普遍的一種變化規律，而這種變化規律可以直接導致本福特定律。

　　這個定律是一個非常神奇的定律，它的適用範圍異常的廣泛，幾乎所有日常生活中沒有人為規則的統計數據都滿足這個定律。比如說世界各國人口數量、各國國土面積、賬本、物理化學常數、數學物理課本後面的答案、放射性半衰期等等數據居然都符合本福特定律。值得一提的是，科學家還發現，統計物理的三個重要分佈，Boltzmann-Gibbs分佈，Bose-Einstein分佈，Fermi-Dirac分佈，也基本上滿足Benford定律。

　　使用本福特法則必須滿足的條件

　　第一，這些數據必須跨度足夠大，必須橫跨好幾個數量級才能產生這個結果。數據樣本需要儘可能的多，至少要在3000個以上；其次，數據樣本跨度要大，比如人的身高就不滿足“本福特定律”，因為大多數人身高在1米至2米這一區間；

　　第二，有人為規則的數據就不滿足次定律，比如說手機號碼、身份證號、發票編號等數據，明顯不滿足這種對數分佈律。也就是說，本福特定律正是沒有任何限制才顯露出來的定律，越是對數據的產生有人為限制，越是不滿足該定律。第三，數據不能經過人為修飾，隨便人為修改的數據一般就不滿足本福特定律了，比如當年著名的安然公司造假案，他們的賬本就沒有滿足本福特定律，因此這個神秘的定律甚至可以用來判別是否財務造假。

　　統計國家地區人口數

　　李永樂老師統計2000年世界上235個國家和地區人口數，以及首位分別是1-9的占比數據。

　　然後，將實際頻率和本福特法則預測概率合在一起圖解。我們們會發現，兩者很接近。

　　本福特法則揭示的分佈現象很普遍。多數沒有人為干預的統計數據，例如，世界各國人口數量、各國國土面積、賬本、物理化學常數、數學物理課本後面的答案、放射性半衰期等，都滿足本福特法則。

　　值得一提的是，科學家還發現，統計物理的3個重要分佈，波茲曼-吉布斯分佈，玻色-愛因斯坦分佈，費米-狄拉克分佈，也基本滿足本福特法則。

　　如此普遍，以至於現在科學家還在持續研究本福特法則。讀友們如果有興趣，也可以挑選一些領域，來考察各種數據的首位數分佈。

　　鑒別造假^[2]

　　在數據造假領域，不難理解，造假者人為篡改數據，如果不夠完美，就很容易與本福特法則預測數據產生偏差。

　　我們來看一個案例。2001年，美國最大能源交易商、年收入破千億美元的安然公司宣佈破產，同時傳出公司財務造假的傳聞。

　　於是，有人用本福特法則對安然公司公佈的財務報表進行檢驗。

　　發現數字1、8、9頻率相比本福特法則預測明顯偏大，數字2、3、4、5、7又明顯偏小。這意味著，安然公司造假可能性較大。

　　經過調查，美國司法部最終認定安然公司財務造假。安然公司CEO傑弗里·斯基林被判刑24年並罰款4500萬美元，財務欺詐策劃者費斯托被判6年徒刑並罰款2380萬美元。

　　安然醜聞發生後，有89年曆史位列全球第五大會計師事務所的安達信，因幫助安然公司造假，被判處妨礙司法公正罪後宣告破產。

　　目前，本福特法則已經成為會計師們判斷銷售數據、財務報表等數據是否造假的依據之一，甚至還有人使用本福特法則，來檢驗選舉中是否存在舞弊現象。