本福特法则

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本福特法则（Benford's law）

　　本福特法则，也称“本福特定律”，以提出者物理学家本福特的名字命名，指的是一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现机率约为总数的三成，接近期望值1/9的3倍，推广来说，越大的数字，以它为首几位的数出现的机率就越低；精确地数学表述为：在b进位制中，以数n起头的数出现的机率为logb(n + 1) − logb(n)^[1]。

　　本福特定律产生的根源，就在于指数增长。而指数增长的形式在自然界是十分普遍的，只要一个变量的增长率和他的大小成正比，结果就会是指数增长。比如说人类科技发展的速度大致和已有的科技成果成正比，所以人类的科技发展就是个指数增长；人口增长率会和已存在人口数成正比，因此没有资源限制的人口增长也是指数增长。指数增长是自然中极为普遍的一种变化规律，而这种变化规律可以直接导致本福特定律。

　　这个定律是一个非常神奇的定律，它的适用范围异常的广泛，几乎所有日常生活中没有人为规则的统计数据都满足这个定律。比如说世界各国人口数量、各国国土面积、账本、物理化学常数、数学物理课本后面的答案、放射性半衰期等等数据居然都符合本福特定律。值得一提的是，科学家还发现，统计物理的三个重要分布，Boltzmann-Gibbs分布，Bose-Einstein分布，Fermi-Dirac分布，也基本上满足Benford定律。

　　使用本福特法则必须满足的条件

　　第一，这些数据必须跨度足够大，必须横跨好几个数量级才能产生这个结果。数据样本需要尽可能的多，至少要在3000个以上；其次，数据样本跨度要大，比如人的身高就不满足“本福特定律”，因为大多数人身高在1米至2米这一区间；

　　第二，有人为规则的数据就不满足次定律，比如说手机号码、身份证号、发票编号等数据，明显不满足这种对数分布律。也就是说，本福特定律正是没有任何限制才显露出来的定律，越是对数据的产生有人为限制，越是不满足该定律。第三，数据不能经过人为修饰，随便人为修改的数据一般就不满足本福特定律了，比如当年著名的安然公司造假案，他们的账本就没有满足本福特定律，因此这个神秘的定律甚至可以用来判别是否财务造假。

　　统计国家地区人口数

　　李永乐老师统计2000年世界上235个国家和地区人口数，以及首位分别是1-9的占比数据。

　　然后，将实际频率和本福特法则预测概率合在一起图解。我们们会发现，两者很接近。

　　本福特法则揭示的分布现象很普遍。多数没有人为干预的统计数据，例如，世界各国人口数量、各国国土面积、账本、物理化学常数、数学物理课本后面的答案、放射性半衰期等，都满足本福特法则。

　　值得一提的是，科学家还发现，统计物理的3个重要分布，波兹曼-吉布斯分布，玻色-爱因斯坦分布，费米-狄拉克分布，也基本满足本福特法则。

　　如此普遍，以至于现在科学家还在持续研究本福特法则。读友们如果有兴趣，也可以挑选一些领域，来考察各种数据的首位数分布。

　　鉴别造假^[2]

　　在数据造假领域，不难理解，造假者人为篡改数据，如果不够完美，就很容易与本福特法则预测数据产生偏差。

　　我们来看一个案例。2001年，美国最大能源交易商、年收入破千亿美元的安然公司宣布破产，同时传出公司财务造假的传闻。

　　于是，有人用本福特法则对安然公司公布的财务报表进行检验。

　　发现数字1、8、9频率相比本福特法则预测明显偏大，数字2、3、4、5、7又明显偏小。这意味着，安然公司造假可能性较大。

　　经过调查，美国司法部最终认定安然公司财务造假。安然公司CEO杰弗里·斯基林被判刑24年并罚款4500万美元，财务欺诈策划者费斯托被判6年徒刑并罚款2380万美元。

　　安然丑闻发生后，有89年历史位列全球第五大会计师事务所的安达信，因帮助安然公司造假，被判处妨碍司法公正罪后宣告破产。

　　目前，本福特法则已经成为会计师们判断销售数据、财务报表等数据是否造假的依据之一，甚至还有人使用本福特法则，来检验选举中是否存在舞弊现象。