度規函數

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度規函數(Gauge Functions)

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什麼是度規函數

  度規函數是指考慮兩產品標準函數,該函數圖形是描述帶有生產前沿fr(P)的機會集合P。對於P內的任憊點x1,如果能衡量其效率損失如何的低是有用的。即這一點離前沿多遠。這麼做的一種簡單方法,首先是要求出點x \in fr(P)_{1}。它正好是x1比例變化,對某個\lambda_{1} \in [0,1),有x^{1}=\lambda_{1}\bar{x}。這樣,置J(x1 | P) = λ2,就定義了測定任意這樣的點相對於P的函數Jx1 | P。為便它是有效的度量,它顯然應該具有這樣一種特性:當且僅當x\in fr(P)就有J(x | P) = 1

度規函數的類型

  度規函數有二個類型:第1種,簡稱為度規函數,是對閔可夫斯基距離函數,而有時也叫作閔可夫斯基泛函的直接推廣。這種函數在數學中是常用的,但在經濟學中至今仍很少用,至少沒有明顯地用過。它們最適合位於原點附近的有界集合,諸如P以上部分以及麥肯齊的交易集合X_i。

  第二種度規函數在數學中鮮為人知,但在經濟學中卻常常用到。它主要是對於不包括原點的無界集合而言的,諸如B^{t}以上部分和生產理論中的類似集合。經濟學家們給予這些函數許多命名,其中有“距離“函數、“變換”函數和“折縮”函數。

度規函數的分析

  度規函數是數學凸分析的一個重要函數。設E為\R\mathbb C上的矢量空間,有需要時可以假設為拓撲矢量空間。設C為在E內的凸集,且包含原點。那麼C的度規函數p是從E到\mathbb R \cup \{+ \infty \}的函數,定義為

  p(x)= \inf\, \{\lambda >0 \,\mid\, x \in \lambda C \},

  如果C為空集,定義p(x)=  +\infty

  從定義立刻得到以下結果,可以進一步說明度規函數:

  \{x\,\mid\,p(x)<1\}\subset C\subset\{x\,\mid\,p(x)\leq1\}

  若C是在E中的開集,那麼C=\{x\,\mid\,p(x)<1\}

  若C是在E中的閉集,那麼C=\{x\,\mid\,p(x)\leq1\}

  同樣地可立刻看出這條件當0是C的內點時成立。易證逆命題在有限維時成立:簡潔做法是看到p既是有限值和處處定義的凸函數,因而p連續,故此\{x\,\mid\,p(x)<1\}包含在C內且是0的鄰域。

  當0是在C的內部時,可以想象這樣一幅圖畫:函數取值1的點正好是凸集C的拓撲邊界,其他正數值的水平面是其位似形。如果有不在任一個水平面上的點,函數在該點取值為0。

  最後再補充一點。在實矢量空間時,C相對0點對稱,其度規函數避開+\infty值,這度規函數便是半範數;在復矢量空間也有同樣結論,只需把對稱的定義,修改為與任何模為1的複數相乘都不變。

原點外不取0值的條件

  從定義看出度規函數在原點外一點x0取0值,當且僅當從原點過x0的射線包含在凸集內。

  因此立刻可知在賦範矢量空間內,有界凸集的度規函數不在原點外取0值。

  逆命題對有限維空間內的閉凸集成立,用半徑為1的球面的緊致性證明。

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