度规函数

用手机看条目

出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

度规函数(Gauge Functions)

目录

什么是度规函数

  度规函数是指考虑两产品标准函数,该函数图形是描述带有生产前沿fr(P)的机会集合P。对于P内的任惫点x1,如果能衡量其效率损失如何的低是有用的。即这一点离前沿多远。这么做的一种简单方法,首先是要求出点x \in fr(P)_{1}。它正好是x1比例变化,对某个\lambda_{1} \in [0,1),有x^{1}=\lambda_{1}\bar{x}。这样,置J(x1 | P) = λ2,就定义了测定任意这样的点相对于P的函数Jx1 | P。为便它是有效的度量,它显然应该具有这样一种特性:当且仅当x\in fr(P)就有J(x | P) = 1

度规函数的类型

  度规函数有二个类型:第1种,简称为度规函数,是对闵可夫斯基距离函数,而有时也叫作闵可夫斯基泛函的直接推广。这种函数在数学中是常用的,但在经济学中至今仍很少用,至少没有明显地用过。它们最适合位于原点附近的有界集合,诸如P以上部分以及麦肯齐的交易集合X_i。

  第二种度规函数在数学中鲜为人知,但在经济学中却常常用到。它主要是对于不包括原点的无界集合而言的,诸如B^{t}以上部分和生产理论中的类似集合。经济学家们给予这些函数许多命名,其中有“距离“函数、“变换”函数和“折缩”函数。

度规函数的分析

  度规函数是数学凸分析的一个重要函数。设E为\R\mathbb C上的矢量空间,有需要时可以假设为拓扑矢量空间。设C为在E内的凸集,且包含原点。那么C的度规函数p是从E到\mathbb R \cup \{+ \infty \}的函数,定义为

  p(x)= \inf\, \{\lambda >0 \,\mid\, x \in \lambda C \},

  如果C为空集,定义p(x)=  +\infty

  从定义立刻得到以下结果,可以进一步说明度规函数:

  \{x\,\mid\,p(x)<1\}\subset C\subset\{x\,\mid\,p(x)\leq1\}

  若C是在E中的开集,那么C=\{x\,\mid\,p(x)<1\}

  若C是在E中的闭集,那么C=\{x\,\mid\,p(x)\leq1\}

  同样地可立刻看出这条件当0是C的内点时成立。易证逆命题在有限维时成立:简洁做法是看到p既是有限值和处处定义的凸函数,因而p连续,故此\{x\,\mid\,p(x)<1\}包含在C内且是0的邻域。

  当0是在C的内部时,可以想象这样一幅图画:函数取值1的点正好是凸集C的拓扑边界,其他正数值的水平面是其位似形。如果有不在任一个水平面上的点,函数在该点取值为0。

  最后再补充一点。在实矢量空间时,C相对0点对称,其度规函数避开+\infty值,这度规函数便是半范数;在复矢量空间也有同样结论,只需把对称的定义,修改为与任何模为1的复数相乘都不变。

原点外不取0值的条件

  从定义看出度规函数在原点外一点x0取0值,当且仅当从原点过x0的射线包含在凸集内。

  因此立刻可知在赋范矢量空间内,有界凸集的度规函数不在原点外取0值。

  逆命题对有限维空间内的闭凸集成立,用半径为1的球面的紧致性证明。

本条目对我有帮助1
MBA智库APP

扫一扫,下载MBA智库APP

分享到:
  如果您认为本条目还有待完善,需要补充新内容或修改错误内容,请编辑条目投诉举报

本条目由以下用户参与贡献

Tracy.

评论(共0条)

提示:评论内容为网友针对条目"度规函数"展开的讨论,与本站观点立场无关。

发表评论请文明上网,理性发言并遵守有关规定。

打开APP

以上内容根据网友推荐自动排序生成

闽公网安备 35020302032707号