布豐投針問題

用手机看条目

出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

布豐投針問題(Buffon neddle )

目錄

什麼是布豐投針問題

  布豐投針問題是指18世紀布豐提出的問題:設我們有一個以平行且等距木紋鋪成的地板(如圖),現在隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針,求針和其中一條木紋相交的概率

布豐投針問題的解法

  設針的長度是\ell,並行線之間的距離為tx為針的中心和最近的並行線的距離,θ為針和線之間的銳角。

  x \in [0,t/2]的機率密度函數為\frac{2}{t}dx

  \theta \in [0,\pi/2]的機率密度函數為\frac{2}{\pi}d\theta

  x兩個隨機變數互相獨立,因此兩者結合的機率密度函數只是兩者的乘法|積:

\frac{4}{t\pi}dxd\theta

  當x \le \frac{\ell}{2}\sin\theta,針和線相交。

  求上式的積分,得針與線相交的機率:

\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{(\ell/2)\sin\theta}  \frac{4}{t\pi}dxd\theta = \frac{2\ell}{t\pi}.

  拋n支針,其中有h支針與線相交的機率是:

\frac{h}{n} = \frac{2\ell}{t\pi},

  由此可求得π:

\pi = \frac{2\ell n}{th}

布豐投針問題的相關實驗

  1901年義大利數學家Mario Lazzarini嘗試進行此實驗。他拋了3408次針,得到π的近似值為355/113。

  Lazzarini選取了一支長度是紋的距離的5/6的針。在這個情況,針和紋相交的機會是5/(3π)。如果想拋n次針而得到x次相交,π約等於5/3 \times n/x。分母、分子少於五位數字,沒有比355/113更好的π的近似值了。因此,可以列式355/113 = 5/3 \times n/x,得x = 113n / 213

  為求x的值接近這個數,可以重覆拋213次針,若有113次是成功的,便可終止實驗,宣佈這個方法求π值準確度不低;否則,就再拋213次針,希望共有226次成功……這次反覆進行實驗。Lazzarini做了3408=213 \times 16次。

本條目對我有幫助7
MBA智库APP

扫一扫,下载MBA智库APP

分享到:
  如果您認為本條目還有待完善,需要補充新內容或修改錯誤內容,請編輯條目

本条目由以下用户参与贡献

Tracy.

評論(共0條)

提示:評論內容為網友針對條目"布豐投針問題"展開的討論,與本站觀點立場無關。

發表評論請文明上網,理性發言並遵守有關規定。

打开APP

以上内容根据网友推荐自动排序生成