测度

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测度(Measure)

测度概述

　　数学上，测度(Measure)是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。

　　测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中有所体现的。

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测度的定义

　　形式上说，一个测度 $\mu\$ （详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。设 $\mathcal{A}$ 是集合 $X\$ 上的一个σ代数， $\mu\$ 在上 $\mathcal{A}$ 定义，于扩充区间 $[0,\infty]$ 中取值，并且满足以下性质：

空集的测度为零：

$\mu(\emptyset) = 0$ 。

可数可加性，或称 $σ$ 可加性：若 $E_1,E_2,\cdots$ 为 $\mathcal{A}$ 中可数个两两不交的集合的序列，则所有 $E_i\$ 的并集的测度，等于每个 $E_i\$ 的测度之总和：

$\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$ 。

　　这样的三元组 $(X, \mathcal{A}, \mu)$ 称为一个测度空间，而 $\mathcal{A}$ 中的元素称为这个空间中的可测集。

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测度的性质

　　下面的一些性质可从测度的定义导出：

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单调性

　　测度 $\mu\$ 的单调性：

　　若 $E_1\$ 和 $E_2\$ 为可测集，而且 $E_1 \subseteq E_2$ ，则 $\mu(E_1) \leq \mu(E_2)$ 。

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可数个可测集的并集的测度

　　若 $E_1, E_2, E_3\cdots$ 为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的 $n\$ ， $E_n\$ ⊆ $E_{n+1}\$ ，则集合 $E_n\$ 的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

$\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$

　　以及如下极限：

$\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)$

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可数个可测集的交集的测度

　　若 $E_1,E_2,\cdots$ 为可测集，并且对于所有的 $n\$ ， $E_{n+1}\$ ⊆ $E_n\$ ，则 $E_n\$ 的交集是可测的。进一步说，如果至少一个 $E_n\$ 的测度有限，则有极限：

$\mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)$

　　如若不假设至少一个 $E_n\$ 的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个 $n\in \mathbb{N}$ ，令

$E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}$

这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

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$σ$ 有限测度

如果 $\mu(\Omega)\$ 是一个有限实数（而不是 $\infty$ ），则测度空间 $(X, \mathcal{A}, \mu)$ 称为有限测度空间。如果 $\Omega\$ 可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为 $σ$ 有限测度空间。称测度空间中的一个集合 $A\$ 具有 $σ$ 有限测度，如果 $A\$ 可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限。

作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是 $σ$ 有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族[k, k+1]，k 取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为 $\infty$ 。这样的测度空间就不是 $σ$ 有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。 $σ$ 有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说， $σ$ 有限性可以类比于拓扑空间的可分性。

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完备性

一个可测集 $N\$ 称为零测集，如果 $\mu(N)=0\$ 。零测集的子集称为可去集，它未必是可测的，但零测集自然是可去集。如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：考虑 $X\$ 的所有这样的子集 $F\$ ，它与某个可测集 $E\$ 仅差一个可去集，也就是说 $E\$ 与 $F\$ 的对称差包含于一个零测集中。由这些子集 $F\$ 生成的σ代数，并定义 $\mu(F)\$ 的值就等于 $\mu(E)\$ 。

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例子

下列是一些测度的例子（重要性与顺序无关）。

计数测度　定义为 $\mu(S) = S\$ 的‘元素个数’。
一维勒贝格测度 是定义在 $\mathbb{R}$ 的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足 $\mu([0,1])=1\$ 的唯一测度。
Circular angle 测度 是旋转不变的。
局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
恆零测度 定义为 $\mu(S) = 0\$ ，对任意的 $S\$ 。
每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。
其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。