高斯-博内定理

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什么是高斯-博内定理

  在微分几何中,高斯-博内定理是指关于曲面的图形(由曲率表征)和拓扑(由欧拉示性数表征)间联系的一项重要表述。它是以卡尔•弗里德里希•高斯和皮埃尔•奥西安•博内命名的,前者发现了定理的一个版本但从未发表,后者1848年发表了该定理的一个特例。

高斯-博内定理的内容

  设M是一个紧的二维黎曼流形,\partial M是其边界。令KM的高斯曲率,kg\partial M的测地曲率。则有

  \int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M), \,

  其中dA是该曲面的面积元,ds是M边界的线元。此处χ(M)M的欧拉示性数。

  如果\partial M的边界是分段光滑的,我们将\int_{\partial M}k_g\;ds视作光滑部分相应的积分之和,加上光滑部分在曲线边界上的转过的角度之和。

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