阿贝尔定理

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什么是阿贝尔定理

  阿贝尔定理是指幂级数的一个重要结果。

  设f(z)= \sum_{n \geq 0} a_n z^n为一幂级数,其收敛半径为R。若对收敛圆(模长为 R 的复数的集合)上的某个复数z0,级数\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n收敛,则有 \lim_{t\to 1^-} f(t z_0) =  \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n

  若\sum_{n \geq 0} a_n R^n收敛,则结果显然成立,无须引用这定理。

阿贝尔定理的证明

  设级数\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n收敛,下面证明:

  \lim_{t\to 1^-} f(t z_0) = \lim_{t\to 1^-} \sum_{n \geq 0} a_n t^n z_0^n = \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n

  令b_n = a_n z_0^n,则幂级数\sum_{n\geq 0} b_n z^n 的收敛半径为1,并且只需证明

  \lim_{t\to 1^-} \sum_{n \geq 0} b_n t^n  = \sum_{n \geq 0} b_n

  令b_0^{\prime} = b_0 - \sum_{n \geq 0} b_n,则可化归到\sum_{n\geq 0} b_n =0,于是以下只需要考虑\sum_{n\geq 0} b_n =0 的情况。

  设S_n = \sum_{k = 0}^n b_n,那么\lim_{n\to +\infty} S_n = 0。由幂级数性质可知\sum_{n\geq 0} S_n z^n 的收敛半径也是1。于是

   .\ \ \lim_{N\to +\infty} \sum_{n = 0}^N b_n t^n = \lim_{N\to +\infty} \sum_{n = 0}^N (S_n - S_{n-1}) t^n

   = \lim_{N\to +\infty} \left(\sum_{n = 0}^{N-1} S_n (t^n - t^{n+1}) + S_N t^N \right)

   = (1 - t) \sum_{n = 0}^{\infty} S_n t^n(因为\lim_{n\to +\infty} S_n t^n= 0

  对于任意的ε > 0,固定N0 使得

   \forall m > N_0|s_m|< \frac{\epsilon}{2}

  再固定δ使得

   \forall 0 \le t \le \delta|1 - t| \sum_{n = 0}^{N_0} S_n \le \frac{\epsilon}{2}

  于是对\forall 0 \le t \le \delta

   .\ \ | \lim_{N\to +\infty} \sum_{n = 0}^N b_n t^n | \le |(1 - t) \sum_{n = 0}^{N_0} S_n t^n | + |(1 - t) \sum_{n = N_0 + 1}^{\infty} S_n t^n |

  \le \frac{\epsilon}{2} + |1 - t| \frac{\epsilon}{2} \sum_{n = N_0 + 1}^{\infty} |t|^n \le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} \frac{|1 - t|}{1 - |t|}

   \displaystyle = \epsilon

  这就证明了

  \lim_{t\to 1^-} \sum_{n \geq 0} b_n t^n  = 0 = \sum_{n \geq 0} b_n

  于是阿贝尔定理得证。

  从证明中可以看出,对于一个固定的正数α,设区域:

   D_{\alpha} = \left\{ |t| \le 1 \left| \right| \frac{|1 - t|}{1 - |t|} \le \alpha \right\}

  那么只要tDα趋近于1,就有阿贝尔定理成立。

阿贝尔定理的例子和应用

  阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方法是通过在级数每项后加上xn项,将问题转换为幂级数求和,最后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知,这个极限就是原级数的和。

   为计算收敛级数\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n},设f(x)= \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x)。于是有\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2

   为计算收敛级数\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1},设g(x)= \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x)。因此有\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}

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评论(共1条)

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121.249.15.* 在 2019年6月9日 18:15 发表

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