迪尼定理

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迪尼定理(Dini's theorem)

什么是迪尼定理

　　在数学中，迪尼定理叙述如下：设 X 是一个紧致的拓扑空间， f(n) 是 X 上的一个单调递增的连续实值函数列（即使得对任意 n 和 X 中的任意 x 都有 $\scriptstyle f_n(x) \leq f_{n+1}(x)$ ）。如果这个函数列逐点收敛到一个连续的函数 f ，那么这个函数列一致收敛到 f 。这个定理以意大利数学家乌利塞•迪尼命名。

　　对于单调递减的函数列，定理同样成立。这个定理是少数的由逐点收敛可推出一致收敛的例子之一，原因是由单调性这个更强的条件。

　　注意定理中的 f 一定要是连续的，否则可以构造反例。比如说在区间 [0,1] 上的函数列 { $x n$ }。这是一个单调递减函数，逐点收敛到函数 f ：当 x 属于 [0,1) 时f(x) 等于 0 ，f(1) 等于 1。但这个函数列不是一致收敛的，因为 f 不连续。

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迪尼定理的证明

　　我们对单调递增的函数列作证明：对于任意 $\varepsilon > 0$ ，对每个 n ，设 $\ g_n = f - f_n$ 再设 $\ E_n$ 为使得 $\ g_n(x) < \varepsilon.$ 的 $x \in X$ 。显然每个 $g n$ 都连续，于是每个 $E n$ 都是开集（在拓扑空间中，连续函数被定义为使得开集的原像都是开集的函数，可以证明这种定义和一般的连续定义是等价的，而 $[0,\varepsilon )$ 是正实数集中的开集）。函数列{ $g n$ } 是单调递减的，因此 $E n$ 是 $E n + 1$ 的子集。又由于 $\ f_n$ 逐点收敛到 f ，所有（ $E n$ ）的并集是 X 的一个开覆盖。但是 X 是一个紧集于是存在正整数 N 使得 $E N = X$ 。因此对所有 $n > N$ ，对所有的 $x \in X$ ，都有 $0< g_n(x) = f(x) - f_n(x) < \varepsilon$ ，于是{ $f n$ } 一致收敛于 f 。