迪尼定理

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迪尼定理(Dini's theorem)

什麼是迪尼定理

　　在數學中，迪尼定理敘述如下：設 X 是一個緊致的拓撲空間， f(n) 是 X 上的一個單調遞增的連續實值函數列（即使得對任意 n 和 X 中的任意 x 都有 $\scriptstyle f_n(x) \leq f_{n+1}(x)$ ）。如果這個函數列逐點收斂到一個連續的函數 f ，那麼這個函數列一致收斂到 f 。這個定理以義大利數學家烏利塞•迪尼命名。

　　對於單調遞減的函數列，定理同樣成立。這個定理是少數的由逐點收斂可推出一致收斂的例子之一，原因是由單調性這個更強的條件。

　　註意定理中的 f 一定要是連續的，否則可以構造反例。比如說在區間 [0,1] 上的函數列 { $x n$ }。這是一個單調遞減函數，逐點收斂到函數 f ：當 x 屬於 [0,1) 時f(x) 等於 0 ，f(1) 等於 1。但這個函數列不是一致收斂的，因為 f 不連續。

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迪尼定理的證明

　　我們對單調遞增的函數列作證明：對於任意 $\varepsilon > 0$ ，對每個 n ，設 $\ g_n = f - f_n$ 再設 $\ E_n$ 為使得 $\ g_n(x) < \varepsilon.$ 的 $x \in X$ 。顯然每個 $g n$ 都連續，於是每個 $E n$ 都是開集（在拓撲空間中，連續函數被定義為使得開集的原像都是開集的函數，可以證明這種定義和一般的連續定義是等價的，而 $[0,\varepsilon )$ 是正實數集中的開集）。函數列{ $g n$ } 是單調遞減的，因此 $E n$ 是 $E n + 1$ 的子集。又由於 $\ f_n$ 逐點收斂到 f ，所有（ $E n$ ）的並集是 X 的一個開覆蓋。但是 X 是一個緊集於是存在正整數 N 使得 $E N = X$ 。因此對所有 $n > N$ ，對所有的 $x \in X$ ，都有 $0< g_n(x) = f(x) - f_n(x) < \varepsilon$ ，於是{ $f n$ } 一致收斂於 f 。