矩法估计

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什么是矩法估计

  对于随机变量来说,矩是其最广泛,最常用的数字特征,母体ξ的各阶矩一般与ξ的分布中所含的未知参数有关,有的甚至就等于未知参数。由辛钦大数定律知,简单随机子样的子样原点矩\bar{\xi^r}依概率收敛到相应的母体原点矩Eξr,r = 1,2,Λ。这就启发我们想到用子样矩替换母体矩(今后称之为替换原则),进而找出未知参数的估计,基于这种思想求估计量的方法称为矩法。用矩法求得的估计称为矩法估计,简称矩估计。它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的。

矩法估计的理论依据

  由辛钦大数定律知:

  \bar{\xi^r}\overrightarrow{p}E\xi^r,r=1,2,\Lambda

  即对\nu\varepsilon>0,有

  lim_{n\to\infty}P(|\bar{\xi^r}-E\xi^r|>\varepsilon)=0

  或

  lim_{n\to\infty}P(|\bar{\xi^r}-E\xi^r|\le\varepsilon)=1

矩法估计的具体步骤

  设母体ξ的概率函数为f(x1,Λ,θk),其中(\theta_1,\Lambda,\theta_k)\in\Theta是k个未知参数,ξ1,Λ,ξn是取自这一母体的一个子样。设ξ的k阶矩vk = Eξk存在,则vj,j < k都存在,并且是θ1,Λ,θk的函数vj1,Λ,θk),又子样ξ1,Λ,θk的j阶矩为\bar{\xi_n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\xi_i^j。我们设

  \begin{cases} \bar{\xi}=E\xi \\ \bar{\xi^2}=E\xi^2 \\ \Lambda\Lambda\Lambda \\ \bar{\xi^k}=E\xi^k \end{cases}    (1)

  这样我们就得到含k个未知参数θ1,Λ,θk的k个方程,解由这k个方程联列所构成的方程组就可以得到theta1,Λ,θk的一组解:

  \begin{cases} \hat{\theta_1}=\hat{\theta_1}(\xi_1,\Lambda,\xi_n) \\ \hat{\theta_2}=\hat{\theta_2}(\xi_1,\Lambda,\xi_n) \\ \Lambda\Lambda\Lambda\Lambda\Lambda\Lambda\Lambda \\ \hat{\theta_k}=\hat{\theta_k}(\xi_1,\Lambda,\xi_n) \end{cases}    (2)

  用(2)中的解\hat{\theta_i}来估计参数θi 就是矩法估计。

  一般我们考察k\le 3的情形。

  在数理统计学中,我们一般用\hat{\theta}表示θ的估计量。

  下面我们举一个与实际问题有关的多参数的矩法估计问题。

  例:已知大学生英语四级考试成绩ξ~N(μ,σ2),均值μ,方差σ2均未知,ξ1,Λ,ξn为取自母体ξ的一个子样,(x1,Λ,xn)是子样的一组观测值,求μσ2的矩法估计。

  解:注意到有两个未知参数,由矩法估计知需两个方程,按照(1)式得方程组

  \begin{cases} \mu=\bar{\xi} \\ \sigma^2+\mu^2=\bar{\xi^2} \end{cases}

  解这一方程组得μσ的矩法估计量

  从而μσ2的矩法估计值分别为\bar{x}\hat{=}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2

  分析:注意到我们这里求出μσ2的矩法估计并未用到母体ξ的分布。这样对μ,σ2作出了估计,也就对整个母体分布作出了推断,进而对大学生英语四级考试成绩ξ相关的其它数字特征如标准分、标准差偏态系数等作出了估计。

矩法估计的优缺点

  矩法估计原理简单、使用方便,使用时可以不知母体的分布,而且具有一定的优良性质(如矩估计\bar{\xi}Eξ的一致最小方差无偏估计),因此在实际问题,特别是在教育统计问题中被广泛使用。

  但在寻找参数的矩法估计量时,对母体原点矩不存在的分布如柯西分布等不能用,另一方面它只涉及母体的一些数字特征,并未用到母体的分布,因此矩法估计量实际上只集中了母体的部分信息,这样它在体现母体分布特征上往往性质较差,只有在样本容量n较大时,才能保障它的优良性,因而理论上讲,矩法估计是以大样本为应用对象的。

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评论(共3条)

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222.240.210.* 在 2008年4月26日 10:32 发表

非常感谢,对我很有用```

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218.14.17.* 在 2010年12月19日 12:26 发表

转了

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211.137.59.* 在 2012年8月29日 15:01 发表

非常感谢

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