灰色系统预测法

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什么是灰色系统预测法

　　灰色系统预测法是指对一些行为效果已知、而产生行为的原因较模糊的抽象灰色系统的预测方法。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。

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灰色系统预测主要包括

　　灰色系统预测主要包括：

　　1.数列预测，即对系统行为特征值的预测。

　　2.激励预测，即对在一些突然性因素影响下的行为特征值的预测。

　　3.突变预测，即对系统的行为特征值超过一定限度而造成“突变”的时间的预测。

　　4.季节突变预测，即在某一特定时期内发生的突变的预测。

　　5.拓展预测，是对不规则波动系统的行为特征的波形的预测。

　　6.系统预测，是一种综合预测，即先用不同模型表示变量之间的关系，得到一组模型，然后再进一步采用模型来表示诸模型组之间的关系，得到一个复合模型来进行预测。

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灰色系统预测法的特点

　　该预测方法具有以下特点：

不需要大量的样本；

预测精度较高；

用累加生成拟合微分方程，符合能量系统的变化规律；

可以进行长期预测。

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灰色系统预测法的建模方法和过程

　　（1）数据处理。假设给定原始时间数据序列为：

$X^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),\cdots,x^{(0)}(n))$ 　　　　（4-40）

　　这些数据表现为：量少、无规律、随机性强、波动明显等。此时，将原始数据列进行一次累加生成1-AGO，获得新的数据列：

$X^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),\cdots,x^{(1)}(n))$ 　　　　（4-41）

　　式中， $X^{(1)}(i)=\sum_{k=1}^i x^{(0)}(k)(i=1,2,\cdots,n)$ 。由于新生成的数据列为一条单调增长的曲线，增加了原始数据列的规律性，弱化了其波动性。

　　（2）建立微分方程。灰色系统建模思想是直接将时间序列转化为微分方程，从而建立抽象系统的发展变化动态模型，简记为GM。GM（1,1）模型的原始形式为： $x (0) (k) + a x (1) (k) = b$ ,其中，G表示Grey，M表示Model，1表示1阶方程，1表示1个变量，a和b为参数。设

$Z^{(1)}=(z^{(1)}(2),z^{(1)}(3),\cdots,z^{(1)}(n))$ 　　　（4-42）

式中， $z^{(1)}(k)=\frac{1}{2}(x^{(1)}(k)+x^{(1)}(k-1))$ ,则称

$x (0) (k) + a z (1) (k) = b$ 　　　　　　　　（4-43）

为GM（1,1）模型的基本形式。

　　若 $\widehat{a}=(a,b)^T$ 为参数列，且

$X_n= \begin{bmatrix} x^{(0)}(2) \\ x^{(0)}(3) \\ \vdots \\ x^{(0)}(n) \end{bmatrix}$ ， $B= \begin{bmatrix} -z^{(1)}(2) & 1 \\ -z^{(1)}(3) & 1 \\ \vdots & \vdots \\ -z^{(1)}(n) & 1 \end{bmatrix}$ 　　　　　　（4-44）

则灰色微分方程式（4-44）的最小二乘估计参数列满足：

$\widehat{a}=(B^{T}B)^{-1}B^{T}Y$ 　　　（4-45）

　　设非负序列 $X (0)$ 和1-AGO序列 $X (1)$ 如式（4-41）和式（4-42）所示，其中 $Z (1)$ 为 $X (1)$ 的紧邻均值生成序列，如式（4-43）所示， ${(a,b)}^T={(B^{T} B)}^{-1}B^{T} X_n$ ，

则称 $\frac{dx^{(1)}(t)}{dt}+ax^{(1)}(t)=b$ 　　（4-46）

为灰色微分方程式（4-44）的白化方程，也叫影响方程。进行物流预测时，常常采用该白化方程。

　　（3）参数估计a和b。具体公式为式（4-45）和式（4-46），其中式（4-45）结合式（4-43）代入得

$X_n= \begin{bmatrix} x^{(0)}(2) \\ x^{(0)}(3) \\ \vdots \\ x^{(0)}(n) \end{bmatrix}$ ，

$B= \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}(x^{(1)}(1)+x^{(1)}(2)) & 1 \\ -\frac{1}{2} (x^{(1)}(2)+x^{(1)}(3)) & 1 \\ \vdots &\vdots \\ -\frac{1}{2}(x^{(1)}(n-1)+x^{(1)}(n)) & 1 \end{bmatrix}$ 　　（4-47）

${(a,b)}^T={(B^{T} B)}^{-1}B^{T} X_n$ 　　　　　　（4-48）

把式（4-47）代入式（4-48）可得a和b的值。

　　（4）预测模型。白化方程式（4-46）的解也称时间相应预测值，具体为：

$x^{(1)}(t)=(x^{(1)}(0)- \frac{b}{a})e^{-a(t-1)}+ \frac{b}{a}$ 　　（4-49）

　　GM（1，1）灰色微分方程式（4-43）或式（4-46）的时间相应序列为：

　　　　 $\widehat{x} ^{(1)} (k+1)=(x^{(1)}(0)- \frac{b}{a})e^{-ak}+ \frac{b}{a}$ ， $k=1,2,\cdots ,n$ 　　　　（4-50）

　　取 $x (1) (0) = x (0) (1)$ ，则

$\widehat{x} ^{(1)} (k+1)=(x^{(0)}(1)- \frac{b}{a})e^{-ak}+ \frac{b}{a}$ ， $k=1,2,\cdots ,n$ 　　　　（4-51）

　　（5）还原模型。最后由于灰色系统理论建立的是累加数据的模型，因此我们必须对累加的数据进行还原，得到还原模型：

$\widehat{x} ^{(0)} (k+1)=\widehat{x} ^{(1)}(k+1)- \widehat{x} ^{(1)}k$ ， $k=1,2,\cdots ,n$ 　　　　（4-52）

　　GM（1,1）模型的综合预测模型为：

$\begin{cases} {\widehat{x} ^{(1)} (k+1)=(x^{(0)}(1)- \frac{b}{a})e^{-ak}+ \frac{b}{a} , k=1,2,\cdots ,n} \\ {\widehat{x} ^{(0)} (k+1)=\widehat{x}^{(1)}(k+1)- \widehat{x}^{(1)}k , k=1,2,\cdots ,n }\end{cases}$

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灰色系统预测法的模型检验

　　设原始序列为式（4-41），相应的预测模型序列为：

$\widehat x ^{(0)}=(\widehat x ^ {(0)} (1),\widehat x ^ {(0)} (2),\cdots , \widehat x ^ {(0)} (n))$

　　残差序列为：

$\varepsilon ^ {(0)}=(\varepsilon ^ {(0)} (1),\varepsilon ^ {(0)} (2),\cdots ,\varepsilon ^ {(0)} (n))$

$=(x^{(0)}(1)-\widehat x ^ {(0)} (1),x^{(0)}(2)-\widehat x ^ {(0)} (2),\cdots ,x^{(0)}(n)-\widehat x ^ {(0)} (n)$

　　（1）残差检验。按预测模型计算 $\widehat x^{(1)}(k)$ ，并将 $\widehat x^{(1)}(k)$ 累减生成 $\widehat x^{(0)}(k)$ ，然后计算原始数据 $x (0) (k)$ 与预测值 $\widehat x^{(0)}(k)$ 的绝对误差序列和相对误差序列：

$\varepsilon ^{(0)}(k)=|x^{(0)}(k)- \widehat x ^{(0)}(k)|,k=1,2, \cdots ,n$ （4-53）

$\Delta_k=\frac{\varepsilon ^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k)} \times 100%,k=1,2, \cdots ,n$ （4-54）

　　对于 $k \le n$ ，称 $\Delta_k=\left| \frac{\varepsilon ^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k)} \right|$ 为k点模拟相对误差，称 $\bar \Delta= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n {\Delta_k}$ 为平均相对误差；称 $1-\bar \Delta$ 为平均相对精度， $1 - Δ k$ 为k点的模拟精度 $(k=1,2,\cdots ,n)$ 。给定 $α$ ，当 $Δ < α$ 且 $Δ k < α$ 成立时，该模型为残差合格模型。

　　（2）后验差检验。第1后验指标为方差比 $C=\frac{S_2}{S_1}$ ，对于给定的 $C 0 > 0$ ,当 $C < C 0$ 时，称模型为均方差合格模型。第2后验指标为小误差概率 $p=P(|\varepsilon (k)-\bar \varepsilon| < 0.674 5S_1)$ ，对于给定的 $p 0 > 0$ ，当 $p < p 0$ 时，称模型为小误差概率合格模型。

　　上述式中： $S 1$ 位原始序列标准差； $S 2$ 为绝对误差标准差； $\varepsilon (k)$ 为预测误差； $\bar \varepsilon$ 为其均值；p=m/n(m为小于上述条件的误差个数)。通过检验的标准为精度等级月消越好，4级为不通过，精度等级如表4-8所示。

**表4-8　　精度检验等级参照表**
	精度等级
	1	2	3	4
相对误差 $α$	<0.01	<0.05	<0.10	$\geq$ 0.20
关联度 $\varepsilon_0$	>0.90	>0.80	>0.70	$\leq$ 0.60
小误差概率p	>0.95	>0.80	>0.70	$\leq$ 0.70
方差比C	<0.35	<0.50	<0.65	$\geq$ 0.65

　　虽然GM（1，1）模型在预测方面应用广泛且效果显著，但并不是所有的数据序列都能建立GM（1，1）模型。在建立GM（1，1）模型之前，数列必须满足一定的前提条件：

　　1）数据序列要满足准光滑性条件，光滑比 $\rho (t)=\frac{x(t)}{ \sum_{i=1}^{t-1} x(i) }<0.5$ 为准光滑性检验条件；

　　2）数据序列必须满足灰指数规律，序列的变化速度不能太快，级比 $\delta ^{(1)}(t)=\frac {x^{(0)}}{x(t-1)} \in [1,1.5)$ 为准指数规律检验条件。

　　对于满足准光滑性条件和灰指数规律的序列，可以建立GM（1，1）模型。一般非负系列累加生成后，可以得到光滑序列，非负光滑序列累加生成后，都会减少随机性，呈现出近似的指数增长规律。原始数列越光滑，生成后的指数规律也越明显。因此保证数列光滑性是生成指数的关键。对于非光滑或震荡数列，一般经过二级弱化算子作用后就能变成为光滑数列。

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