棣莫弗公式

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棣莫弗公式(De Moivre formula)

什么是棣莫弗公式

　　棣莫弗公式是指法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）于1707年创立的公式。

　　当一个复数z以极坐标形式表达，即 $z = r (cosθ + i sinθ)$ 时，其 $n$ 次方 $(r (cosθ + i sinθ)) n = r n (cos(n θ) + i sin(n θ))$ ，其中 $n$ 属于任何整数。

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棣莫弗公式的证明

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欧拉公式

　　最简单的方法是应用欧拉公式。

　　 $e^{ix} = \cos x + i\sin x\,$

　　 $\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} .$

　　 $e^{i(nx)} = \cos (nx) + i\sin (nx).\,$

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数学归纳法

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正整数情形

　　证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。

　　设命题为 $P ( n ) = ( \cos \theta + i \sin \theta )^n =\left( \cos n \theta + i \sin n \theta \right), n \in\mathbb{N}$

　　当n=1

　　左式 $= ( \cos \theta + i \sin \theta )^1 = \cos \theta + i \sin \theta = ( \cos 1 \cdot \theta + i \sin 1 \cdot \theta )=$ 右式

　　因此 P(1)成立。

　　假设 $P (k)$ 成立，即 $(cosθ + i sinθ) k = cos(k θ) + i sin(k θ)$

　　当 $n = k + 1$

　　 $\cdot ~~~~~~ (\cos\theta + i\sin\theta)^{k+1}$

　　 $=(\cos\theta + i\sin\theta)^{k} \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)$

　　 $=(\cos k\theta + i\sin k\theta) \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)$

　　 $=(\cos k\theta \cdot \cos\theta + \cos k\theta \cdot i\sin\theta) + (i\sin k\theta \cdot \cos\theta + i\sin k\theta \cdot i\sin\theta)$

　　 $=[\cos k\theta \cdot \cos\theta - \sin k\theta \cdot \sin\theta] + i[\cos k\theta \cdot \sin\theta + \sin k \theta \cdot \cos\theta]$

　　 $=\cos (k+1)\theta + i\sin (k+1)\theta \cdot$

　　因此， $P (k + 1)$ 也成立。

　　根据数学归纳法， $\forall n \in \mathbb{N}$ ， $P (n)$ 成立。

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负整数情形

　　只需运用恒等式：

　　 $(\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)) \cdot (\cos (-n \theta)+i \sin (-n \theta)) =1$ 即可证明。

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用棣莫弗公式求根

　　此定理可用来求单位复数的 $n$ 次方根。设 $| z | = 1$ ，表为

　　 $z = cosθ + i sinθ$

　　若 $w n = z$ ，则 $w$ 也可以表成：

　　 $w = cosφ + i sinφ$

　　按照棣莫弗公式：

　　 $w n = (cosφ + i sinφ) n = cos n φ + i sin n φ = cosθ + i sinθ = z$

　　于是得到

　　 $n φ = θ + 2 k π$ （其中 $k \in \Z$ ）

　　也就是：

　　 $\phi = \frac{\theta + 2k\pi}{n}$

　　当 $k$ 取 $0, 1, \ldots, n-1$ ，我们得到 $n$ 个不同的根。

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