棣莫弗公式

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棣莫弗公式(De Moivre formula)

目录

什么是棣莫弗公式

  棣莫弗公式是指法国数学家棣莫弗Abraham de Moivre,1667年-1754年)于1707年创立的公式。

  当一个复数z以极坐标形式表达,即z = r(cosθ + isinθ)时,其n次方(r(cosθ + isinθ))n = rn(cos(nθ) + isin(nθ)),其中n属于任何整数。

棣莫弗公式的证明

欧拉公式

  最简单的方法是应用欧拉公式。

  e^{ix} = \cos x + i\sin x\,

  \left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} .

  e^{i(nx)} = \cos (nx) + i\sin (nx).\,

数学归纳法

正整数情形

  证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。

  设命题为P ( n ) = ( \cos \theta + i \sin \theta )^n =\left( \cos n \theta + i \sin n \theta \right), n \in\mathbb{N}

  当n=1

  左式 = ( \cos \theta + i \sin \theta )^1 =  \cos \theta + i \sin \theta  = ( \cos 1 \cdot \theta + i \sin 1 \cdot \theta )= 右式

  因此 P(1)成立。

  假设P(k)成立,即(cosθ + isinθ)k = cos(kθ) + isin(kθ)

  当n = k + 1

  \cdot  ~~~~~~ (\cos\theta + i\sin\theta)^{k+1}

  =(\cos\theta + i\sin\theta)^{k} \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)

  =(\cos k\theta + i\sin k\theta)  \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)

  =(\cos k\theta  \cdot \cos\theta + \cos k\theta  \cdot i\sin\theta) + (i\sin k\theta  \cdot \cos\theta + i\sin k\theta  \cdot i\sin\theta)

  =[\cos k\theta  \cdot \cos\theta - \sin k\theta  \cdot \sin\theta] + i[\cos k\theta  \cdot \sin\theta + \sin k \theta  \cdot \cos\theta]

  =\cos (k+1)\theta + i\sin (k+1)\theta   \cdot

  因此,P(k + 1)也成立。

  根据数学归纳法\forall n \in \mathbb{N}P(n)成立。

负整数情形

  只需运用恒等式:

  (\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)) \cdot (\cos (-n \theta)+i \sin (-n \theta)) =1即可证明。

用棣莫弗公式求根

  此定理可用来求单位复数的 n 次方根。设 | z | = 1,表为

  z = cosθ + isinθ

  若 wn = z,则 w 也可以表成:

  w = cosφ + isinφ

  按照棣莫弗公式:

  wn = (cosφ + isinφ)n = cosnφ + isinnφ = cosθ + isinθ = z

  于是得到

  nφ = θ + 2kπ(其中 k \in \Z

  也就是:

  \phi = \frac{\theta + 2k\pi}{n}

  当 k0, 1, \ldots, n-1,我们得到 n 个不同的根。

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