哈恩-巴拿赫定理

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什么是哈恩-巴拿赫定理

  在泛函分析中,哈恩-巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间,并说明了存在“足够”的连续函数。定义在每一个赋范向量空间,使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯•哈恩和斯特凡•巴拿赫命名,他们在1920年独立证明了这个定理。

哈恩-巴拿赫定理的内容

  定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量域(实数\mathbb{R}或复数\mathbb{C})上的一个向量空间V,一个函数\mathcal{N}:V\rightarrow\mathbb{R}称为次线性函数,如果:

  \mathcal{N}(ax+by)\leq|a|\mathcal{N}(x) + |b|\mathcal{N}(y)\qquad\forall x,y\in V\quad\forall a,b\in\mathbb{K}.

  可以很容易证明,V上的每一个范数和每一个半范数都是次线性的。其它的次线性函数也可以是很有用的。

  哈恩-巴拿赫定理说明,如果\mathcal{N}:V\rightarrow\mathbb{R}是一个次线性函数,\varphi:U\rightarrow\mathbb{K}V的线性子空间|子空间U上的一个线性泛函,满足:

  |\varphi(x)|\le q\mathcal{N}(x)\qquad\forall x \in U

  那么存在φ到整个空间V的一个线性扩张\psi:V\rightarrow\mathbb{K},也就是说,存在一个线性泛函ψ,使得:

  \psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\in U

  以及:

  |\psi(x)|\leq\mathcal{N}(x)\qquad\forall x\in V.

  扩张ψ一般不是由φ唯一指定的,定理的证明也没有给出任何求出ψ的方法:在无穷维空间V的情形中,它依赖于佐恩引理——选择公理的一个表述。

  我们可以把\mathcal{N}的次线性条件稍微减弱,只需要:

  \mathcal{N}(ax+by)\leq|a|\mathcal{N}(x) + |b|\mathcal{N}(y)\qquad\forall x,y\in V\quad |a|+|b|=1\in\mathbb{R}

  这揭示了哈恩-巴拿赫定理与凸性的密切联系。

哈恩-巴拿赫定理的重要结果

  这个定理有一些重要的结果,其中有些也有时称为“哈恩-巴拿赫定理”:

   如果V是一个赋zh-tw:范向量空间,其子空间为U(不一定是封闭的),且φ : U → K是连续和线性的,那么存在φ的一个扩张ψ : V → K,也是连续和线性的,且范数与φ相同(关于线性映射的范数的讨论,参见巴拿赫空间)。也就是说,在赋zh-tw:范向量空间的范畴中,空间K是一个内射对象。

   如果V是一个赋zh-tw:范向量空间,其子空间为U(不一定是封闭的),且z是V的一个元素,不在U的闭包 (拓扑学)|闭包内,那么存在一个连续线性映射ψ : V → K,对于U内的所有x都满足ψ(x) = 0,ψ(z) = 1,且||ψ|| = 1/dist(z,U)。

哈恩-巴拿赫定理的相关内容

  哈恩-巴拿赫定理的另外一种形式,称为哈恩-巴拿赫分离定理。它在凸几何中有许多用途。

  定理:设V为 \mathbb K = \mathbb R\mathbb C上的一个拓扑向量空间,AB 是 V的非空凸子集。假设A \cap B = \varnothing。那么:

  如果A是开集,那么存在一个连续线性映射\lambda\colon V \to \mathbb K和 t \in \mathbb R,使得对于所有的a \in Ab \in B,都有 \operatorname{Re}\,\lambda(a) < t \leq \operatorname{Re}\,\lambda(b)

  如果V 是局部凸的,A 是紧集,且B 是闭集,那么存在一个连续线性映射 \lambda\colon V \to \mathbb K和 s, t\in \mathbb R,使得对于所有的a \in Ab \in B,都有 \operatorname{Re}\,\lambda(a) < t < s < \operatorname{Re}\,\lambda(b)

哈恩-巴拿赫定理与选择公理的关系

  前面已经提到,从选择公理可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而,反过来不成立。注意超滤子引理比选择公理更弱,但从它也可以推出哈恩-巴拿赫定理(反过来则不行)。实际上,哈恩-巴拿赫定理还可以用比超滤子引理更弱的假设来证明。[1]对于可分空间|可分巴拿赫空间,Brown和Simpson证明了哈恩-巴拿赫定理可以从WKL0——一个二阶算术的弱子系统推出。[2]

参考文献

  1. D. Pincus, The strength of Hahn–Banach's Theorem, in: Victoria Symposium on Non-standard Analysis, Lecture notes in Math. 369, Springer 1974, pp. 203-248. Citation from M. Foreman and F. Wehrung,
  2. D. K. Brown and S. G. Simpson, Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn-Banach theorem?, Annals of Pure and Applied Logic, 31, 1986, pp. 123-144.
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