哈恩－巴拿赫定理
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在泛函分析中，哈恩-巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续函数。定义在每一个赋范向量空间，使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯•哈恩和斯特凡•巴拿赫命名，他们在1920年独立证明了这个定理。
定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量域（实数
或复数
）上的一个向量空间V，一个函数
称为次线性函数，如果：
可以很容易证明，V上的每一个范数和每一个半范数都是次线性的。其它的次线性函数也可以是很有用的。
哈恩-巴拿赫定理说明，如果是一个次线性函数，
是V的线性子空间|子空间U上的一个线性泛函，满足：
那么存在φ到整个空间V的一个线性扩张
，也就是说，存在一个线性泛函ψ，使得：
以及：
扩张ψ一般不是由φ唯一指定的，定理的证明也没有给出任何求出ψ的方法：在无穷维空间V的情形中，它依赖于佐恩引理——选择公理的一个表述。
我们可以把
的次线性条件稍微减弱，只需要：
这揭示了哈恩-巴拿赫定理与凸性的密切联系。
这个定理有一些重要的结果，其中有些也有时称为“哈恩-巴拿赫定理”：
如果V是一个赋zh-tw:范向量空间，其子空间为U（不一定是封闭的），且φ : U → K是连续和线性的，那么存在φ的一个扩张ψ : V → K，也是连续和线性的，且范数与φ相同（关于线性映射的范数的讨论，参见巴拿赫空间）。也就是说，在赋zh-tw:范向量空间的范畴中，空间K是一个内射对象。
如果V是一个赋zh-tw:范向量空间，其子空间为U（不一定是封闭的），且z是V的一个元素，不在U的闭包 (拓扑学)|闭包内，那么存在一个连续线性映射ψ : V → K，对于U内的所有x都满足ψ(x) = 0，ψ(z) = 1，且||ψ|| = 1/dist(z,U)。
哈恩-巴拿赫定理的另外一种形式，称为哈恩-巴拿赫分离定理。它在凸几何中有许多用途。
定理：设V为 
或
上的一个拓扑向量空间，A和B 是 V的非空凸子集。假设
。那么：
如果A是开集，那么存在一个连续线性映射
和 
，使得对于所有的
和
，都有 
。
如果V 是局部凸的，A 是紧集，且B 是闭集，那么存在一个连续线性映射 和 
，使得对于所有的和，都有 
。
前面已经提到，从选择公理可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而，反过来不成立。注意超滤子引理比选择公理更弱，但从它也可以推出哈恩-巴拿赫定理（反过来则不行）。实际上，哈恩-巴拿赫定理还可以用比超滤子引理更弱的假设来证明。[1]对于可分空间|可分巴拿赫空间，Brown和Simpson证明了哈恩-巴拿赫定理可以从WKL0——一个二阶算术的弱子系统推出。[2]
- ↑ D. Pincus, The strength of Hahn–Banach's Theorem, in: Victoria Symposium on Non-standard Analysis, Lecture notes in Math. 369, Springer 1974, pp. 203-248. Citation from M. Foreman and F. Wehrung,
- ↑ D. K. Brown and S. G. Simpson, Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn-Banach theorem?, Annals of Pure and Applied Logic, 31, 1986, pp. 123-144.
