三次设计法

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三次设计法（Three designs / Ternary Designs）

三次设计法概述

　　三次设计法由田口博士提出，三次设计是指系统设计（System design）、参数设计（Parameter design）和容差设计（Tolerance design）。它是一种优化设计，是线外质量管理的主要内容。它和传统的产品的三段设计(方案设计、技术设计和施工设计)有一定的交叉。通过三次设计使产品具有健壮性。三次设计中进一步运用正交设计的理论和方法研究考核指标的稳定性。

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三次设计法的主要内容

　　1.系统设计（一次设计）

　　系统设计即传统的设计。它是依据技术文件进行的。例如：化工生产过程选择什么样的原材料和工艺路线；生产电机选用何种导线，采用什么加工工艺等等。系统设计的质量取决于专业技术的高低。但对于某些结构复、多参数、多特性值的产品，要全面考虑各种参数组合的综合效应，单凭专业技术往往无法定量地确定经济合理的最佳参数组合。尽管系统设计有这个不足，有时甚至由于时间限制，不可能对所有系统进行研究，只能根据直觉或预测，从各个系统中挑选几个重要的系统进行研究。系统设计是整个设计的基础，它为选择需要考察的因素和待定的水平提供了依据。

　　2.参数设计（二次设计）

　　在系统设计的基础上，就该决定这些系统中各参数值的最优水平及最佳组合。但由于系统设计是凭专业知识推定出待考察的因素和水平，无法综合考虑减小质量波动，降低成本等因素。而参数设计是一种非线性设计，它运用正交试验、方差分析等方法来研究各种参数组合与输出特性之间的关系，以便找出特性值波动最小的最佳参数组合。因此，参数设计也称参数组合的中心值设计。

　　实践表明，整机质量的好坏，既取决于产品整体的设计，又取决于零部件的质量。一个系统功能好坏很大程度上取决于系统本身的结构。好的参数组合不一定是以每件零部件最优为条件的，而是一种不同档次、不同质量水平的低成本的组合，从而实现低成本高质量的设计要求。产品设计中的波动情况是复杂的，很多产品的输出特性与因素组合之间并不是线性关系。

　　例如，有一晶体管稳压电源，输入为交流220V，要求输出目标值为直流110V，波动范围必须控制在±2V。决定稳压电路输出特性的主要因素是晶体管的电流放大倍数 hFE（其输出特性呈非线性关系）以及调节电阻R的大小（电阻的输出呈线性关系）。

　　通常专业设计人员看到电路输出与目标值发生偏离时，大多是调整晶体管 hFE的工作点，使输出达到目标值，但又产生了输出电压波动偏大的问题。例如原稳压电源的晶体管hPE工作点在A1（A1=20），对应的输出电压为95V。这时，设计人员通常是把hFE从A1调整到A2（A2=40），使输出电压达到110V。但是，晶体管的hFE总会有一定范围的波动。假定hFE的波动范围为±20，当选定A2=40为设计中心值时，hFE就将在20-60（A1-A3）之间波动，对应的输出目标的波动范围将是95-120V。过去为解决这一问题，都是进一步严格挑选元件，以减小hFE的波动范围。这样势必增加制造成本。如何运用参数设计的原理来优化设计呢？由此可知，当A4=80这个工作点时，对应的输出特性曲线变化的平坦区。现在仍采用hFE波动为±20的晶体管，但工作点选A4=80上，此时输出电压波动范围为120耀122V之间，波动幅度大大减小。但这时的输出电压为121V，比目标值110V高出一个M=11V的偏差。这个偏差可用线性元件电阻 R来校正，通过改变电阻R的大小来调整输出电压；使其达到110V。通过这项设计，我们找到了晶体管hFE与电阻的最佳参数组合为A4B4。

　　在设计开发的过程中，常常是在关系未知的情况下进行参数设计的，而不是象上例中的关系明确可鉴。这就必须通过试验的办法，并借助于正交试验、方差分析、信噪比等数理统计的方法，以较少的次数找出符合设计目标值且稳定性很高的参数组合。

　　3. 容差设计（三次设计）

　　系统要素的中心值决定后，便进入决定这些因素波动范围的容差设计。由于某些输出特性的波动范围仍然较大，若想进一步控制波动范围，就得考虑选择较好的原材料、配件，但这样自然会提高成本。因此有必要将产品的质量和成本进行综合平衡。容差是从经济角度考虑允许质量特性值的波动范围。容差设计通过研究容差范围与质量成本之间的关系，对质量和成本进行综合平衡。

　　例如：可以将那些对产品输出特性影响大而成本低的零部件的容差选得紧一些，而对输出特性影响小而成本又很高的零部件选得松一些。为此，必须要有一个质量损失函数来评价质量波动所造成的经济损失。

　　仍以上述晶体管理稳压电源的设计为例。当输出电压正好等于110V时，质量波动最小。随着质量波动的增大，引起的经济损失（包括社会经济损失）也将增大。例如：质量波动造成零部件返工、报废以及用户由于质量波动也多付费用等。

　　可见，容差设计是在决定了最佳参数组合的中心值后，根据质量损失函数，在综合平衡用户与制造厂质量费用的情况下，选定合理的公差范围。

　　以上通过稳压电源的参数设计和容差设计的例子，对三次设计的原理进行概念性的介绍。实际计算往往要复杂得多，通常要运用正式试验、方差分析和信噪比对质量特性进行综合评定。

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三次设计案例分析^[1]

　　案例：进气系统空燃比控制的三次设计

　　煤层气发动机的优良体现，其中最重要的就是如何建立准确的进气系统前馈处理模型。对前馈处理模型准确与否，第一是建立什么样的模型，第二是模型的数据是否符合发动机工作实际情况。事实证明用步进电机控制的空气阀和燃气阀在改变阀大小的时候是有误差的，对节气门的控制时也是误差的。相应的传感器试验测得的数据和所定的参数也是有误差的。如果不合理的解决误差，那测得的试验数据所算得的空燃比也是不准确的，前馈处理模型的建立也就不准确。田口理论的三次设计方法允许试验有误差，主要的是如何控制误差，使误差对试验输出因素影响减到可以允许的范围内，以提高煤层气发动机燃烧效率。

　　1.进气系统空燃比控制的系统设计

　　由于发动机可控因素比较多，因素水平也比较多，相应的误差因素也较多，本课题研究的是对发动机影响较大的燃料供给系统，也就是在固定的载荷下如何合理安排燃气阀、空气阀和节气门的开启大小和相应的水平组合，以控制误差，使燃料充分燃烧，空燃比达到或者基本接近理论之值。

　　本试验中，发动机工作时带动发电机发电，用发电机作为发动机的负载。经过理论分析并参照试验经验，确定了如下三个可控因素，每个因素取三个水平，进行正交试验。其中入(空燃比)为本试验的输出特性，目标值为九=1。A、B、C分别代表燃气阀开度、空气阀开度、节气门开度。它们为传感器测得的值单位为伏特，其中燃气管直径为25mm，空气管直径为40mm，节气门直径为50mm。F为载荷，为传感器测得的发电机输出的功率，单位为千瓦。

　　试验中A——燃气阀开度，待选参数。

　　　　　B——空气阀开度，待选参数。

　　　　　C——节气门开度，待选参数。

　　　　　F——载荷(3±0.2KW)。

　　　　　λ=实际空燃比/理论空燃比，望目特性。

　　2.进气系统空燃比控制的参数设计

　　众多参数到底取多大的值，才能使输出质量特性入最接近于既定目标值，这就是参数设计问题。本课题采用内外表直积法进行设计。

　　本试验待选参数A、B、C为可控因素，参数设计的具体步骤如下：

　　（1）可控因素水平表

　　由于参数设计主要是利用非线性技术，故可控因素的水平范围尽量取大些。根据实践和相关知识，每因素取三水平进行参数设计，可控因素的水平表如下表所示。

　　此为三因素三水平试验，没有交互作用，故可以用 $L 9 (3 4)$ 安排试验。

　　（2）内设计

　　对可控因素水平表设计试验方案，并安排到一个合适的正交表中去，这个过程就称为内设计，相应的正交表为内表。进行内设计时，一定要认真考虑各因素之间的交互作用。当然能选择避免交互作用的因素更好。本设计选用 $L 9 (3 4)$ 作为内表进行内设计，其表头设计如下表。

　　第4列为空列，用于分析试验误差，内表下表。

　　（3）误差因素水平表的确定

　　本试验燃气阀开度、空气阀开度、节气门开度均有误差，在参数设计中当把它们作为可控因素考虑时，实际上是优选它们的名义值(或公称值)，由于它们均有误差，故亦可作误差因素考虑，用以考察它们对输出特性波动的影响。

　　当它们作为误差因素考虑时，分别记为A'、B'、C'以示与可控因素A、B、C相区别。按三级品计算，假定它们的变化范围分别为A'7±0．005、B'7±0．005、C'7±0．005，另外，载荷F亦是误差因素，分别记为F'。由于这个误差因素的名义值是固定的，没有可当作可控因素优选，因此亦可称为纯误差因素。F'=3±0．2，误差因素水平表样表如下表。

　　以内表中第一号方案为例，A'=0.47、B'=1.35、C'=0.45，相应的误差因素水平表如下表。因有9号试验，共有9张误差因素水平表。

　　（4）外设计

　　安排误差因素的正交表称为外表，相应设计称为外设计。本设计选用正交表 $L 9 (3 4)$ 作为外表。按试验所得数据对每张外表填写各号试验下的输出特性。表头设计如下表。

　　内表中第一号方案得外表如下表：

　　（5）质量特性值的计算

　　质量特征值是进行内表统计分析的基础，只有通过对不同方案的所有质量特征值进行分析，才能看出各个方案的优劣。质量特征值通常可以通过计算和试验得到。对于计算型的质量输出特性，直接根据影响因素的不同水平取值代入计算公式求得；而对于不可计算的质量特性值，只有通过多次试验得到需要的数值。在本试验中质量特性值为非计算的。对每张外表，应合理安排试验得出相对应各个条件下的输出特性。

　　下面以内表中No.1的外表及输出特性值表中的第一号条件为例，说明输出特性的算法。

　　由内表中No.1的外表及输出特性值表第一号条件知，误差因素均取1水平，从误差因素水平表中查出相应的值为：A'=0.465B'=_1.345C'=0.445F'=2.8安排试验并计算得出λ=1．372。

　　可以得出其他各号条件的^值，并将结果填入表内表中No.1的外表及输出特性值。

　　（6）SN比的计算

　　对于内表中的每号试验，根据望目特性SN比和灵敏度的计算公式，可计算得出一个SN比和灵敏度的数值。以表4—8中第一号方案为例计算信噪比。本试验为望目特性，公式为：

　　 $\eta=10 lg\frac{\frac{1}{n}(S_m-V_e)}{V_e}$ 　　(1)

　　式中n=9

　　 $S_m=\frac{1}{n}\left(\sum^n_{i=1}y_i\right)^2=\frac{1}{9}(1.372+1.205+\cdots+0.745)^2=9.866$ 　　(2)

　　 $V_e=\frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}(y_i-\overline{y})^2=0.075$ 　　(3)

　　 $\eta=10 lg\frac{\frac{1}{9}(9.866-0.075)}{0.075}=11.608$ dB

　　可类似的计算其他各号条件下的SN比和灵敏度，将其结果填入下表。

　　（7）内表的统计设计

　　通常，在对内表进行统计分析时，常用到两种方法，一种是极差分析法，另一种是方差分析法。极差分析法是通过极差分析和画趋势图来进行综合比较得出试验结论。大家知道，任何试验过程都存在误差，而这种误差比较小或试验精度要求不高的时候可以不考虑它。但是当误差比较大时，就必须考虑误差，方差分析正是将试验条件不同所引起的试验结果间的差异与偶然因素所引起的试验结果的差异区分开来的一种数学方法。极差分析法简单易用，计算量也相对较小，因此在实践中应用的比较广泛。当需要试验精度高时，采用方差分析。

　　由于本试验要求精度比较的高，所以采用方差分析法。先将上表中的SN比数据填入内表及SN比数据表中，并进行如下分析计算。

　　1).总和T与修正项CT

　　　　 $T=\sum^n_{i=1}\eta_i=(11.608+17.362+\cdots+25.724)=179.858$ 　　(4)

　　 $CT=\frac{T^2}{n}=\frac{{179.858}^2}{9}=3594.322$ 　　(5)

　　2)SN比的总波动平方和 $S T$ 与自由度 $f T$

　　 $S_T=\sum^n_{i=1}\eta^2_i-CT=({11.608}^2+{17.363}^2+\cdots+{25.724}^2)=144.348$ 　　(6)

　　 $f T = n - 1 = 8$ 　　(7)

　　3)各列SN比的部分和 $T 1$ 、 $T 2$ 、 $T 3$

　　以第一列为例计算如下：

　　 $T 1 = η 1 + η 2 + η 3 = 11.608 + 17.362 + 22.242 = 51.212$

　　 $T 2 = η 4 + η 5 + η 6 = 16.456 + 20.350 + 23.643 = 60.449$

　　 $T 3 = η 7 + η 8 + η 9 = 20.951 + 21.522 + 25.724 = 68.197$

　　4)各列SN比的波动平方和 $S i$ 和自由度 $f i$

　　 $S_i=\frac{1}{3}(T^2_1+T^2_2+T^2_3)-CT$ 　　(8)

　　仍以第一列为例：

　　 $S_1=S_A=\frac{1}{3}({51.212}^2+{60.499}^2+{68.197}^2)-3594.322=48.205$

　　( $f 1 = f A = 2$ )

　　其他各列得波动平方和仿此可算得。然后把所算得结果填入内表及SN比数据表。由于 $L 9 (3 4)$ 为完全正交表，应有如下分解公式

　　 $S_T=\sum^4_{j=1}S_j$ 　　(9)

　　5)SN比的方差分析

　　将上述计算结果整理为方差分析表(见下表)

　　其中 $V_A=\frac{S_A}{f_A}$ 、 $V_e=\frac{S_e}{f_e}$ 、 $F_A=\frac{V_A}{V_e}$ 、 $S^'_A=S_A-f_A V_e$ 、 $S^'_A=f_T\cdot V_e$ 、 $\rho_A=\frac{S^'_A}{S_T}$ 。

　　方差分析表明，空气阀B对SN比的影响(即对输出特性波动的影响)是显著的，燃气阀A次之，而节气门C的影响比较的小。

　　（8）最佳方案的选择。

　　由于SN比以大为好，对照内表及SN比数据表可以看出，影响大的因素有： $A = A 3 = 0.49 V$

　　而影响小的因素C的水平原则上可以任选。为使输出特性接近目标值，下面试验计算C的不同水平下相应的λ值。在试验过程中，取F=3(KW)，计算结果如下表所示。

　　由此得出，待选参数中应取 $A 3 B 3 C 1$ ，即A=0.49V、B=3.00V、C=0.45V。在确定参数设计最优方案以后，还可以进行验证试验，以确定最佳因子组合是否在实践中也是最佳。本设计的试验已证明所选方案对控制空燃比方面非常有效，在此对验证过程不做详细说明。至此，完成了煤层气发动机空燃比控制的三次设计。

　　3.进气系统空燃比控制的容差设计

　　参数设计阶段确定了进气系统的最佳参数以后，下一步考虑各参数的波动对输出特性的影响。从经济性角度考虑，在不增加社会总损失的条件下，对影响较大的参数有无必要给予较小的容差范围，此即容差设计。

　　（1）制定误差因素水平表

　　以参数设计选出的最佳参数设计方案，仍按原误差因素的波动范围，设计相应与最佳条件的误差因素水平表，见下表。

　　（2）外设计

　　容差设计中正交试验的原理与参数设计的基本相同，唯一不同的是在容差设计中只有外表的设计，因此计算量相对较小。现在仍选 $L 9 (3 4)$ 为外表，具体步骤同上，其结果如下表。

　　（3）输出特性的方差分析

　　下面对上表所示的输出特性值进行方差分析

　　1)计算方差分析辅助表(见下表）

　　2)总偏差平方和Sr的计算和相应的自由度

　　　　 $S_{T^'}=\sum^n_{i=1}(y_i-m)^2=\sum^9_{i=1}(y_i-1)^2$ 　　(10)

　　 $={0.125}^2+{0.086}^2+\cdots+(-0.127)^2=0.119088$

　　 $S_{T^'}$ 的分解公式为

　　 $S_{T^'}=\sum^n_{i=1}(y_i-m)^2=n(\overline{y}-m)^2+\sum^n_{i=1}(y_i-\overline{y})$ 　　(11)

　　记

　　 $S_m=n(\overline{y}-m)^2$ 　　 $f m = 1$ 　　(12)

　　此为随机误差引起得波动平方和。

　　将 $S T$ 进一步分解，

　　 $S_T=S_{A^'}+S_{B^'}+S_{C^'}+S_{F^'}+S_e$ 　　(13)

　　 $S e$ 是除了误差因素 $A'$ 、 $B'$ 、 $C'$ 、 $F'$ 以外，其他误差因素引起得波动平方和。注意到各误差因素得水平是等间隔得，还可以用正交多项式回归进一步分解，例如：

　　 $S_{A^'}=S_{A^'l}+S_{A^'q}$ 等等。

　　最后整理可得总偏差平方和 $S_{T^'}$ 的分解公式为：

　　 $S T = S m + (S A l + S A q) + (S B l + S B q) + (S C l + S C q) + (S F l + S F q) + S e$ 　　(14)

　　下面对组成 $S_{T^'}$ 的各项进行分别计算。

　　3)各种波动平方和的计算

　　 $S_m=n(\overline{y}-m)^2=\frac{1}{n}\left[\sum(y_i-m)\right]^2$ 　　(15)

　　 $S_m=CT=\frac{T^2}{n}=\frac{(0.016)^2}{9}=0.0000284$ 　　( $f m = 1$ )

　　 $S_{A^'}=\frac{1}{3}\left[{0.108}^2+(-0.127)^2+{0.035}^2\right]-0.0000284=0.0096442$ 　　 $f_{A^'}=2$ 　　(16)

　　 $S_{a^' l}=\frac{(-T_1+0+T_3)^2}{3\times 2}=\frac{(-0.108+0.035)^2}{6}=0.0008880$ 　　 $f_{A^' l}=1$ 　　(17)

　　 $S_{A^' q}=\frac{(T_1-2T_2+T_3)^2}{3\times 6}=\frac{\left[0.108-2\times(-0.127)+0.035\right]^2}{18}=0.0087562$ 　　 $f_{A^' q}=1$ 　　(18)

　　仿此可以算得

　　 $S_{B^'}=0.1029762$ 　　 $S_{C^'}=0.0029670$ 　　 $S_{F^'}=0.0034722$

　　 $S_{B^' l}=0.1024426$ 　　 $S_{C^' l}=0.0001042$ 　　 $S_{F^' l}=0.0026042$

　　 $S_{B^' q}=0.0005336$ 　　 $S_{C^' q}=0.0028628$ 　　 $S_{F^' q}=0.0008680$

　　4)方差分析

　　将上述结果整理为方差分析表(见下表)。

　　表中 $S e$ 利用分解公式计算，即

　　 $S_e=S_{T^'}-(S_{A^' l}+S_{A^'}+S_{B^'}+S_{C^'}+S_{F^'}+S_{N^'})$ 　　(19)

　　将标有记号“△"的项加以合并，得

　　 $S_\tilde{e}=S_e+S_{A^'q}+S{B^'q}+S{C^' L}+S_{C^' q}+S_{N^' q}$ 　　(20)

　　由上表可以看出，对输出特性影响大的原因主要有误差因素 $B'$ 关系，贡献率 $\rho_{B^' l}=86.7\%$ ；其他均可忽略不计。

　　（4）系统偏差的校正

　　为了校正系统偏差，必须找线性贡献率大的因素作为调整因素，由输出特性得方差分析表可见，选取 $B'$ 是合适的。

　　首先配置y与诸误差因素的正交多项式回归，由输出特性得方差分析表可见， $B'$ 、为显著因素，且与λ呈线性关系，所求回归方程可设为:

　　　　 $\widehat{\lambda}=\overline{\lambda}+b_{1 B^'}(B^'-\overline{B_1})$ 　　(21)

　　式中

　　 $\overline{\lambda}=1.075$

　　 $b_{1 B^'}=\frac{W_{11}T_1+W_{21}T_2+W_{31}T_3}{r\times\lambda_1 S_1\times h_{B^'}}$ 　　(22)

　　 $b_{1B^'}=\frac{-1\times 0.381+0\times 0.038+1\times(-0.403)}{3\times 2\times 0.005}=-26.30$

　　 $\overline{B^'}=3.00$

　　故所求正交多项式回归方程为

　　 $\widehat{\lambda}=1.035-26.30(B^'-3.00)$

　　选取线性贡献率最大的因素 $B'$ 作为调整因素。具体做法如下：

　　令 $\widehat{\lambda}=1$ ，由下式解得

　　 $B' = 3.003$

　　只要把 $B'$ 的名义值从原先的3.00调整为3.003，便可基本消除系统偏差，使 $\tilde{\rho}\approx 0$ 。

　　（5）容差设计

　　1)损失函数的建立本试验为望目特性， $λ$ 的目标值为 $λ = 1$ ，故损失函数为n件产品的平均损失为。

　　 $\overline{L}(\lambda)=k\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\lambda_i-1)^2$ 　　(23)

　　 $=kV_{T\prime}$

　　由表4—14可知

　　 $V_{T\prime}=0.00353$

　　所以。

　　 $\overline{L}(y)=0.00353k$

　　2)容差设计

　　倘若把贡献率最大的误差因素 $B^\prime$ 的容差压缩一半，即从原来的 $\triangle=0.05$ ，变 $\triangle^\prime=0.025$ ,由于 $B^\prime$ 与Y呈线性关系，故新的贡献率为。

　　 $\tilde{\rho}_{B^\prime l}=(\frac{1}{2})^2\rho_{B^\prime l}=\frac{1}{4}\times86.7%$

　　另一方面，由于将 $B^\prime$ 的名义值从3.oo调整为3.003，致 $\tilde{p}_m\approx 0$ 。于是，平均质量损失为。

　　 $\tilde{L}(y)=k\times\frac{1}{4}\times 86.7%\times V_{T^\prime}$

　　 $=k\times 0.26675\times V_{T^\prime}$

　　 $\frac{\tilde{L}(y)}{L(y)}=\frac{0.26675kV_{T^\prime}}{k V_{T^\prime}}$

　　至此，完成了煤层气进气系统的优化设计，最后得出的结果是：

　　燃气阀A=0.49±0.005V 空气阀B=3.003±0．0025V

　　节气门C=O.45±0.005V

　　即煤层气发动机在载荷3千瓦的工况下，燃气阀A开度为42％，空气阀B开度为72％，节气门C开度为36％时。实际空燃比与理论值接近的比较好，基本可以忽略试验误差。

　　4.进气系统空燃比控制的试验检验至此，完成了煤层气发动机进气系统空燃比控制系统的三次设计。后经试验检验证明：压缩B’的容差是可行的。提高空气阀门的步进电机的工作精度所增加的费用(平均质量损失降低的费用)是大于成本增加的费用。由三次设计所得的参数水平组合在载荷3KW的条件下，实际空燃比与理论空燃比非常接近没有超过允许值，这对煤层气发动机前馈处理模型的建立起了很大的帮助。

　　在传统煤层气进气系统试验中，仅靠手动控制步进电机的运作，进而控制燃气阀、空气阀和节气门的大小，然后通过相应的传感器读取相关的数据。众所周知手工操作有很大的误差，试验得出的试验数据也必然有很大的误差。而三次设计方法允许试验有误差，通过合理调整各个参数的水平值，进而使实验误差减小到允许的范围内。

　　将三次设计理论引入新产品设计中，与以往研制过程相比较，减少了试验次数，大大缩短了研制周期，节约了许多试验费用。改变了过去企业那种靠经验的传统设计方法，提高了设计效率和质量。

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参考文献

↑ 张岩.基于三次设计的煤层气发动机进气系统空燃比控制设计.合肥工业大学.2008-05-01

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张浩 (Talk | 贡献) 在 2011年8月18日 12:07 发表

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