顫抖手精煉均衡
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顫抖手精煉均衡（trembling hand perfect equilibrium）
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“顫抖手精煉均衡”概念是澤爾騰提出的對納什均衡的一個改進。顫抖手精煉均衡的基本思想是:在任何一個博弈中，每個局中人都有一定的犯錯誤的可能性(類似一個人用手抓東西時，手一顫抖，他就抓不住他想抓的東西)。一個策略對是一個顫抖手精煉均衡時，它必須具有如下性質:各局中人ｉ要採用的策略，不僅在其他局中人不犯錯誤時是最優的，而且在其他局中人偶爾犯錯誤(概率很小，但大於0)時還是最優的。可以看出，顫抖手精煉均衡是一種較穩定的均衡。
從博弈論中我們知道，澤爾騰的這種“顫抖手均衡(trembling hand equilibrium)”也是一種精煉納什均衡。大致說來，澤爾騰(1975)假定，在博弈中存在一種數值極小但又不為0的概率，即在每個博弈者選擇對他來說所有可行的一項策略時，可能會偶爾出錯，這就是所謂的“顫抖之手”。因之，一個博弈者的均衡策略是在考慮到其對手可能“顫抖”(偶爾出錯)的情況下對其對手策略選擇所作的最好的策略回應。單從這一點來看，在演進博弈論中，最初的演進穩定性的出現，並不完全來自博弈雙方的理性計算，而實際上可能是隨機形成的(往往取決於博弈雙方“察言觀色”的一念之差)。按照這一分析思路，我們也可以認為，人們對一種習俗(演進穩定性)的偏離，也可能出自澤爾騰所說的那種人們社會博弈中的“顫抖”。
為了說明顫抖手精煉均衡的價值，我們考慮一個具有兩個“委托人—代理人”對和兩種自然狀態的對稱支付模型。設代理人1的策略有:α1(積極工作)和α2(偷懶)；代理人2的策略同樣有β1(積極工作)和β2(偷懶)。相應於兩個代理人的策略，在自然狀態ｓ1和ｓ2下，每個委托人的收益如下:
| β1 | β2 |
| α1(ｃ1,ｃ2) | (ｄ1,ａ2) |
| α2(ａ1,ｄ2) | (ｂ1,ｂ2) |
| β1 | β2 |
| α1(ｄ1,ｄ2) | (ｅ1,ｂ2) |
| α2(ｂ1,ｅ2) | (ｃ1,ｃ2) |
其中,0<ａｊ<ｂｊ<ｃｊ<ｄｊ<ｅｊ,ｊ=1,2。這意味著當自然狀態“壞”時，每個代理人都必須採用積極”的策略才可能使自己的委托人得到中等以上的收益(即不小於ｃｊ)；而當自然狀態“好”時，兩代理人都選“偷懶”也可使各自的委托人得到ｃｊ的收益。現在設代理人ｊ(ｊ=1,2)在他的委托人的利潤不小於ｃｊ單位時，都得到 Uｊ；否則所得為-M。假設代理人ｊ選擇“積極”策略時，就沒有額外收益,而選擇“偷懶”時，可有ｌｉ>0單位的額外收益。因此，代理人的收益，可用如下標準形的二人非零和博弈給出:
| α1 | β1 ( U1, U2) | β2 ( U1-M) |
| α2 | (-M, U2) | (-M,-M) |
| α1 | β1 ( U1, U2) | β2 ( U1,-M) |
| α2 | (-M, U2) | ( U1+ｌ1, U2+ｌ2) |
這樣，在好的環境ｓ2中，代理人之間的博弈有2個納什均衡:(α1,β1)對應收益對( U1, U2)和(α2,β2)對應收益對( U1,+ｌ1, U2+ｌ2)；而在壞的狀態ｓ1中，代理人間的博弈只有一個非合作均衡(α1,β1)對應收益對( U1, U2)。觀察上述博弈，我們發現在狀態ｓ2中，(α1,β1)更加有效率(使每個委托人的收益都較大)，然而兩個代理人卻更喜歡均衡(α2,β2)，因為這個均衡使他們的效用從( U1, U2)升至( U1,+ｌ1, U2+ｌ2)。但是,如果這兩個納什均衡中只有(α1,β1)是顫抖手精煉均衡，代理人就可能不再偏愛均衡(α2,β2)。
顫抖手精煉均衡的舉例[1]
下麵通過一個例子，分析如何應用“顫抖”對博弈的解(即Nash均衡)進行精煉。考察圖1中的博弈，其中圖1(b)為圖1(a)中博弈的戰略式描述。顯然，博弈存在兩個純戰略Nash均衡——(L1，R2)和(R1，L2)。
首先考察均衡(L1，R2)。假設參與人2選擇行動R2時發生顫抖，其顫抖
(
，1-)(其中0<<1)。若0<≤1／2(即參與人2犯錯誤的可能性不大於1／2)，則v1(L1,)≥v1(R1,)。假設參與人1選擇行動L1時發生顫抖，其顫抖
=(1一，)，由於R2為參與人2的占優戰略，因此v2(R2，)≥v2(L2，)。所以，(L1，R2)為顫抖手精煉均衡。同理可以證明(R1，L2)不是顫抖手精煉均衡。所以，對於圖1(b)所示的戰略式博弈，合理的均衡為(L1，R2)，這與圖1(a)中“博弈的合理均衡為(L1，R2)”的結論相一致。
- ↑ 羅雲峰主編.博弈論教程.清華大學出版社,2007.9.
記得看過一個嚴格的定義： 在n人策略表達式的博弈G={S1，S2，...,Sn；u1,u2,...,u3}中我們說納什均衡（p1,p2,...,pn）構成一個顫抖手精煉均衡，如果對於每個局中人i，存在一個嚴格混合策略序列{p(im)},滿足下列條件： （1）對於每個i，lim(m→∞)p(im)=pi （2）對於每個i和每個m=1,2，...，pi是對策略組合{p(m1),...,p(m i-1),p(m i+1)，...，p(m n)的最優反應，即pi∈arg max ui=(●,p(m,-i))