菲波納契數列
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菲波納契數列（Fibonacci Number）
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菲波納契數列又稱“菲波納契神奇數列”，是由13世紀的義大利數學家菲波納契提出的，當時是和兔子的繁殖問題有關的，它是一個很重要的數學模型。這個問題是：有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以後每月生產一對小兔，而所生小兔亦在第二個月成年，第三個月生產另一對小兔，以後亦每月生產小兔一對，假定每產一對小兔必為一雌一雄，且均無死亡，試問一年後共有小兔幾對？
對於n=1，2，……，令Fn表示第n個月開始時兔子的總對數，Bn、An分別是未成年和成年的兔子（簡稱小兔和大兔）的對數,則Fn = An + Bn。
根據題設，有：
| 月份n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | …… | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A_n | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | …… | |
| B_n | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | …… | |
| F_n | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | …… |
顯然，F1 = 1，F2 = 1，而且從第三個月開始，每月的兔子總數恰好等於它前面兩個月的兔子總數之和，於是按此規律我們得到一個帶有初值的遞推關係式：
若我們規定F0 = 1，則上式可變為：
這就是Fibonacci數列的通常定義，也就是數列1、1、2、 3、5、8、13、 21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597……，直至無限。這串數列的特點是：其中任一個數都是前兩數之和。從上述數字看，系列由1、2、3開始，繼而產生無限數字系列；這與《道德經》第四十二章：“道生一，一生二，二生三，三生萬物”所包含的道理不謀而合。由神奇數字演變出來的比率（即黃金比率，golden ratio），是 0.236、0.382、0.5、0.618、0.764、1.618、2.618 等，上述比率有助推斷未來高點或低點。
這個兔子問題是義大利數學家萊昂納多·菲波納契（Leonardo Fibonacci）在他所著的《算盤全集》中提出的，所以這個數列稱作菲波納契數列，其中每一項稱作Fibonacci數。
它的通項是![F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}]](/w/images/math/4/c/5/4c555d60df2e41fdb30dadad1e7344dc.png)
，由法國數學家比內（Binet）求出的。
菲波納契數列既謂神奇數字，上述數字自有神奇之處，其特點包括：
1、從第三項起，任何一個數字均是其前兩個數字的和數，例如1+1=2；1+2=3；2+3=5；3+5=8；5+8=13；8+13=21；13+21=34等。
2、任何兩個相隔的數字彼此順序相除或倒轉相除，所得數字分別接近0.382及2.618。
接近0.382比率，例如：8÷21=0.381；13÷34=0.382；21÷55=0.382等。
接近2.618比率，例如：21÷8=2.625；34÷13=2.615；55÷21=2.619等。
3、除首四個數字（1、1、2、3）外，兩個相鄰數字彼此相除，所得數字分別接近0.618及1.618比率。
接近0.618比率，例如：5÷8=0.625；8÷13=0.615；13÷21=0.619等。
接近1.618比率，例如：8÷5=1.6；13÷8=1.625；21÷13=1.615等。
在股市中，菲波納契數列的作用在於預測未來走勢的升跌幅。若配合波浪理論，可以神奇數字計算出預期的升跌幅度；藉此，投資者可推測短線、中線或長線走勢的支持位或阻力位，及早趁低吸納或趁早沽出。
還好啊！