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等周定理

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什麼是等周定理

  等周定理是指一個幾何中的不等式定理,說明瞭歐幾裡得平面上的封閉圖形的周長以及其面積之間的關係。其中的“等周”指的是周界的長度相等。等周定理說明在周界長度相等的封閉幾何形狀之中,以圓形的面積最大;另一個說法是面積相等的幾何形狀之中,以圓形的周界長度最小。這兩種說法是等價的。它可以以不等式表達:若P為封閉曲線的周界長,A為曲線所包圍的區域面積,4 \pi A \le P^2

  雖然等周定理的結論早已為人所知,但要嚴格的證明這一點並不容易。首個嚴謹的數學證明直到19世紀才出現。之後,數學家們陸續給出了不同的證明,其中有不少是非常簡單的。等周問題有許多不同的推廣,例如在各種曲面而不是平面上的等周問題,以及在高維的空間中給定的“微分幾何|錶面”或區域的最大“邊界長度”問題等。

  在物理中,等周問題和跟所謂的最小作用量原理有關。一個直觀的表現就是水珠的形狀。在沒有外力的情況下(例如失重的太空艙里),水珠的形狀是完全對稱的球體。這是因為當水珠體積一定時,錶面張力會迫使水珠的錶面積達到最小值。根據等周定理,最小值是在水珠形狀為球狀時達到。

等周定理是歷史

  平面上的等周問題是等周問題最經典的形式,它的出現可以追溯到很早以前。這個問題可以被表述為:在平面上所有周長一定的封閉曲線中,是否有一個圍成的面積最大?如果有的話,是什麼形狀?另一種等價的表述是:當平面上的封閉曲線圍成的面積一定時,怎樣的曲線周長最小?

  雖然圓看似是問題的錶面答案,但證明此事實其實不易。首個接近答案的步驟出現在1838年——雅各布•史坦納以幾何方法證明若答案存在,答案必然是圓形[1]。不久之後他的證明被其他數學家完善。

  其方法包括證明瞭不完全凸的封閉曲線的話,能以翻折凹的部分以成為凸的圖形,以增加面積;不完全對稱的封閉曲線能以傾斜來取得更多的面積。圓,是完全凸和對稱的形狀。可是這些並不足以作為等周定理的嚴格證明。

  1901年,赫爾維茨憑傅里葉級數和格林定理給出一個純解析的證明。

等周定理的證明

  以下給出一個較初等的證明[2],分5步。

  設一條長度為P的封閉曲線圍成的區域的最大面積為A,亦以A、P來標記該區域及其邊界;那麼該圖形應當滿足如下性質:

  1、A是一個凸區域。

   假使不然,A是一個凹區域。那麼根據定義,可以在P內找到兩個點M和N,使其聯機MN有一部份M'N'不包含於A的內部。然而如以M'N'替換掉原來的那段弧,則周長將減少,面積將增加,從而將新圖形擴大若幹倍後得到一個同樣周長,面積比A大的區域。矛盾。

  2、凡平分周長P的弦必平分面積A。

   如果一弦MN平分P而將A分為大小不同的兩部份A1 > A2,那麼去掉A2而將A1對MN做對稱,則可得到一個周長仍然等於P而面積等於2A1 > A1 + A2 = A的區域,矛盾。

  3、凡平分A的弦,無論方向,長度相等。

   如果不然,不妨設兩弦MN和M'N'均平分面積A而MN>M'N'。那麼分別選取MN及其任一側的曲線(半個P,不妨記為P1),以及M'N'及其任一側的區域(另行劃分的半個P,記為P'1),並粘合在一起使得M'N'落在MN上,M與M'重合。

   此時,新的圖形仍然滿足周長為P,面積為A的性質,且由於MN>M'N',N'應落於MN之間。

   以M為中心,分別對P1P'1λμ倍的放縮,使兩曲線的終端吻合(即N和N'經過變換之後重合,記為N),得到兩個分別與原區域相似的區域Q1Q'1。適當調整λμ的值,使曲線MQ1NQ'1M的周長仍為P。

   此時Q1Q'1的長度分別等於Pλ / 2Pμ / 2,所圍的面積分別等於Aλ2 / 2Aμ2 / 2;並且由於MN和MN'經過放縮後重合,有λMN = μMN'

   由於曲線MQ1NQ'1M的周長仍為P,故Pλ / 2 + Pμ / 2 = P,從而λ + μ = 2;而由λMN = μMN',MN > MN'0 < λ < 1

   所以,MQ1NQ'1M的面積為A2 + μ2) / 2 = A2 + (2 − λ)2) / 2 = A2 − 2λ + 2) > A,與A最大矛盾。

  4、若MN平分A,O為MN中點,那麼對P上任意一點R,都有OM=ON=OR。

   以O為中心,做MRN的中心對稱圖形,R對稱到R';那麼圖形MR'NRM的周長為P,面積為A。由第3步知MN和RR'的長度應該相等,而O也是RR'的中點,故得結論。

  5、由於O到P上任意一點的距離都相等,所以P是圓。

參考來源

  1. J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. reine angew Math.   18, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
  2. 福原満洲雄、山中健,変分學入門,朝倉書店,1978.3.
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