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最大盈虧功

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出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

什麼是最大盈虧功^[1]

　　最大盈虧功是指機械在變速穩定運轉的一個周期內，動能的最大值和最小值之間的驅動功與阻抗功之差。

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最大盈虧功的確定^[2]

　　計算飛輪轉動慣量必須首先確定最大盈虧功。若給出作用在主軸上的驅動力M'和阻力矩M”的變化規律， $A m a x$ 便可確定如下：

　　圖1(a)所示為某組穩定運轉一個周期中，作用在主軸上的驅動力M'和阻力M”隨主軸轉角變化的曲線。μM為力矩比例尺，實際力矩值可用縱坐標高度乘以μM得到，即M=yμM； $\mu_\varphi$ 為轉角比例尺，實際轉角等於橫坐標長度乘以 $\mu_\varphi$ ，即 $\varphi=x\mu_\varphi$ ； $M'-\varphi$ 曲線與橫坐標軸所包圍的面積表示驅動力矩所做的功(輸入功)； $M''-\varphi$ 曲線與橫坐標軸所包圍的面積表示阻力矩所做的功(輸出功)。在Oa區間，輸入功與輸出功之差為 $A_{0a}=\int_0^a(M'-M'')d\varphi= \int_0^a\mu M(y'-y'')dx\mu_\varphi=\mu_M\mu_\varphi[S_1]$

　　式中 $[S 1]$ ——0a區間 $M'-\varphi$ 與 $M''-\varphi$ 曲線之間的面積( $m m 2$ )；

　　 $A O a$ ——區間的盈虧功，以絕對值表示。

　　由圖可見，0a區間阻力矩大於驅動力矩，出現虧功，機器動能減小，故標註負號；而ab區間驅動力矩大於阻力矩，出現盈功，機器動能增加，故標註正號。同理，bc、d0區間為負，cd區間為正。

　　盈虧功等於機器動能的增減量。設

E 0

為主軸角位置 $\varphi _0$ 時機器的動能，則主軸角位置為 $\varphi _a$ 時，機器的動能

E a

應為 $E_a=E_0-A_{0a}=E_0-\mu_M\mu_\varphi[S_1]$ $E_b=E_a-A_{ab}=E_a-\mu_M\mu_\varphi[S_2]$ …… $E_0=E_d-A_{d0}=E_d-\mu_M\mu_\varphi[S_5]$ 　　以上動能變化也可用能量指示圖表示。如圖1(b)所示，從點0出發，順次作向量 $\vec{0a}$ 、 $\vec{ab}$ 、 $\vec{bc}$ 、 $\vec{cd}$ 、 $\vec{d0}$ 表示盈虧功

A 0 a

、

A a b

、

A b c

、

A c d

和

A d 0

(盈功為正，箭頭朝上；虧功為負，箭頭朝下)。由圖可知，點d具有最大動能，對應於

ω m a x

，點a具有最小動能，對應於

ω m i n

，a、d二位置動能之差即是最大盈虧功

A m a x

。

　　【例17．1】某機組作用在主軸上的阻力矩變化曲線 $M''-\varphi$ 如圖2(a)所示。已知主軸上的驅動力M'為常數，主軸平均角速度 $\omega_m=25rad\cdot s^{-1}$ ，機械運轉速度不均勻繫數 $δ = 0.02$ 。

　　(1)求驅動力矩M'。

　　(2)求最大盈虧功 $A m a x$ 。

　　(3)求安裝在主軸上的飛輪轉動慣量J。

　　(4)若將飛輪安裝在轉速為主軸3倍的輔助軸上，求飛輪轉動慣量f'。

　　【解】(1)求M'。因給定M'為常數，故 $M'-\varphi$ 為一水平直線。在一個運動迴圈中驅動力矩所做的功為2πM'，它應當等於一個運動迴圈中阻力矩所做的功，即

　　2πM'=100×2π+400× $\frac{\pi}{4}$ ×2

解上式得M’=200 N·m。由此可作出 $M'-\varphi$ 的水平直線。

　　(2)求

A m a x

。將 $M'-\varphi$ 與 $M''-\varphi$ 曲線的交點標註為a、b、c、d。將各區間 $M'-\varphi$ 與 $M''-\varphi$ 所圍面積區分為盈功和虧功，並標註“+”號或“-”號。然後根據各區間盈虧功的數值大小按比例作能量指示圖(圖2(b))。首先自下向上作 $\vec{0a}$ 表示0a區間的盈功， $A_{0a}=100\times \frac{\pi}{2} N \cdot m$ ；其次，向下作 $\vec{ab}$ 表示ab區間的虧功， $A_{ab}=300\times \frac{\pi}{4} N \cdot m$ 。依次類推，直到畫完最後一個封閉向量 $\vec{d0}$ 。由圖可知，ad區間出現最大盈虧功，其絕對值為 $A_{max}=|-A_{ab}+A_{bc}-A_{cd}|=|-300\times \frac{\pi}{4}+ 100\times \frac{\pi}{2}-300\times \frac{\pi}{4}|=314.16N \cdot m$ 　　(3)求安裝在主軸上的飛輪轉動慣量J $J/(N \cdot m)=\frac{A_{max}}{\omega_m^2\delta }=\frac{314.16}{25^2\times 0.02}=25.13$ $kg\cdot m^2$ 　　(4)求安裝在輔助軸上的飛輪轉動慣量，令

ω' = 3ω m

，故 $J'/(kg \cdot m^2)=J(\frac{\omega_m}{\omega'})^2=25.13\times \frac{1}{9}=2.79$ $kg\cdot m^2$

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參考文獻

↑ 彭文生,楊家軍,王均榮編.第十八章機械速度波動的調節機械設計與機械原理考研指南（上冊）.華中科技大學出版社,2006.10.
↑ 宋寶玉主編;張鋒,李笑,王洪祥副主編.第十七章機械動力學機械設計基礎(修訂版).哈爾濱工業大學出版社,2004年01月第2版.

取自"https://wiki.mbalib.com/zh-tw/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%9B%88%E4%BA%8F%E5%8A%9F"

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評論(共7條)

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175.168.251.* 在 2015年1月4日 13:03 發表

做錯了吧 Amax算的不對啊

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精英学生会 (討論 | 貢獻) 在 2015年1月4日 14:02 發表

175.168.251.* 在 2015年1月4日 13:03 發表

做錯了吧 Amax算的不對啊

絕對值

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寒曦 (討論 | 貢獻) 在 2015年1月4日 14:13 發表

175.168.251.* 在 2015年1月4日 13:03 發表

做錯了吧 Amax算的不對啊

MBA智庫百科是可以自由參與的百科，如有發現錯誤和不足，您也可以參與修改編輯，點擊條目上方的編輯進入即可參與，期待您的加入！~

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111.26.33.* 在 2017年12月15日 13:38 發表

答案錯了吧不對

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111.26.33.* 在 2017年12月15日 13:39 發表

答案錯了不對

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LuyinT (討論 | 貢獻) 在 2017年12月18日 10:17 發表

111.26.33.* 在 2017年12月15日 13:39 發表

答案錯了不對

我沒發現哪裡錯誤，MBA智庫百科是可以自由參與編輯，你能把正確答案分享給我們嗎~

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175.11.31.* 在 2019年3月19日 22:08 發表

很好

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