颤抖手精炼均衡
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颤抖手精炼均衡（trembling hand perfect equilibrium）
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“颤抖手精炼均衡”概念是泽尔腾提出的对纳什均衡的一个改进。颤抖手精炼均衡的基本思想是:在任何一个博弈中，每个局中人都有一定的犯错误的可能性(类似一个人用手抓东西时，手一颤抖，他就抓不住他想抓的东西)。一个策略对是一个颤抖手精炼均衡时，它必须具有如下性质:各局中人ｉ要采用的策略，不仅在其他局中人不犯错误时是最优的，而且在其他局中人偶尔犯错误(概率很小，但大于0)时还是最优的。可以看出，颤抖手精炼均衡是一种较稳定的均衡。
从博弈论中我们知道，泽尔腾的这种“颤抖手均衡(trembling hand equilibrium)”也是一种精炼纳什均衡。大致说来，泽尔腾(1975)假定，在博弈中存在一种数值极小但又不为0的概率，即在每个博弈者选择对他来说所有可行的一项策略时，可能会偶尔出错，这就是所谓的“颤抖之手”。因之，一个博弈者的均衡策略是在考虑到其对手可能“颤抖”(偶尔出错)的情况下对其对手策略选择所作的最好的策略回应。单从这一点来看，在演进博弈论中，最初的演进稳定性的出现，并不完全来自博弈双方的理性计算，而实际上可能是随机形成的(往往取决于博弈双方“察言观色”的一念之差)。按照这一分析思路，我们也可以认为，人们对一种习俗(演进稳定性)的偏离，也可能出自泽尔腾所说的那种人们社会博弈中的“颤抖”。
为了说明颤抖手精炼均衡的价值，我们考虑一个具有两个“委托人—代理人”对和两种自然状态的对称支付模型。设代理人1的策略有:α1(积极工作)和α2(偷懒)；代理人2的策略同样有β1(积极工作)和β2(偷懒)。相应于两个代理人的策略，在自然状态ｓ1和ｓ2下，每个委托人的收益如下:
| β1 | β2 |
| α1(ｃ1,ｃ2) | (ｄ1,ａ2) |
| α2(ａ1,ｄ2) | (ｂ1,ｂ2) |
| β1 | β2 |
| α1(ｄ1,ｄ2) | (ｅ1,ｂ2) |
| α2(ｂ1,ｅ2) | (ｃ1,ｃ2) |
其中,0<ａｊ<ｂｊ<ｃｊ<ｄｊ<ｅｊ,ｊ=1,2。这意味着当自然状态“坏”时，每个代理人都必须采用积极”的策略才可能使自己的委托人得到中等以上的收益(即不小于ｃｊ)；而当自然状态“好”时，两代理人都选“偷懒”也可使各自的委托人得到ｃｊ的收益。现在设代理人ｊ(ｊ=1,2)在他的委托人的利润不小于ｃｊ单位时，都得到 Uｊ；否则所得为-M。假设代理人ｊ选择“积极”策略时，就没有额外收益,而选择“偷懒”时，可有ｌｉ>0单位的额外收益。因此，代理人的收益，可用如下标准形的二人非零和博弈给出:
| α1 | β1 ( U1, U2) | β2 ( U1-M) |
| α2 | (-M, U2) | (-M,-M) |
| α1 | β1 ( U1, U2) | β2 ( U1,-M) |
| α2 | (-M, U2) | ( U1+ｌ1, U2+ｌ2) |
这样，在好的环境ｓ2中，代理人之间的博弈有2个纳什均衡:(α1,β1)对应收益对( U1, U2)和(α2,β2)对应收益对( U1,+ｌ1, U2+ｌ2)；而在坏的状态ｓ1中，代理人间的博弈只有一个非合作均衡(α1,β1)对应收益对( U1, U2)。观察上述博弈，我们发现在状态ｓ2中，(α1,β1)更加有效率(使每个委托人的收益都较大)，然而两个代理人却更喜欢均衡(α2,β2)，因为这个均衡使他们的效用从( U1, U2)升至( U1,+ｌ1, U2+ｌ2)。但是,如果这两个纳什均衡中只有(α1,β1)是颤抖手精炼均衡，代理人就可能不再偏爱均衡(α2,β2)。
颤抖手精炼均衡的举例[1]
下面通过一个例子，分析如何应用“颤抖”对博弈的解(即Nash均衡)进行精炼。考察图1中的博弈，其中图1(b)为图1(a)中博弈的战略式描述。显然，博弈存在两个纯战略Nash均衡——(L1，R2)和(R1，L2)。
首先考察均衡(L1，R2)。假设参与人2选择行动R2时发生颤抖，其颤抖
(
，1-)(其中0<<1)。若0<≤1／2(即参与人2犯错误的可能性不大于1／2)，则v1(L1,)≥v1(R1,)。假设参与人1选择行动L1时发生颤抖，其颤抖
=(1一，)，由于R2为参与人2的占优战略，因此v2(R2，)≥v2(L2，)。所以，(L1，R2)为颤抖手精炼均衡。同理可以证明(R1，L2)不是颤抖手精炼均衡。所以，对于图1(b)所示的战略式博弈，合理的均衡为(L1，R2)，这与图1(a)中“博弈的合理均衡为(L1，R2)”的结论相一致。
- ↑ 罗云峰主编.博弈论教程.清华大学出版社,2007.9.
记得看过一个严格的定义： 在n人策略表达式的博弈G={S1，S2，...,Sn；u1,u2,...,u3}中我们说纳什均衡（p1,p2,...,pn）构成一个颤抖手精炼均衡，如果对于每个局中人i，存在一个严格混合策略序列{p(im)},满足下列条件： （1）对于每个i，lim(m→∞)p(im)=pi （2）对于每个i和每个m=1,2，...，pi是对策略组合{p(m1),...,p(m i-1),p(m i+1)，...，p(m n)的最优反应，即pi∈arg max ui=(●,p(m,-i))