图灵完备语言

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　　2024 年 11 月 2 日 星期六

　　如果一个计算机语言具有图灵完备性（Turing Completeness），那么这个语言就是图灵完备语言（Turing-complete language）。

　　艾伦·麦席森·图灵（Alan Mathison Turing，1912.6.23 - 1954.6.7），英国数学家、逻辑学家、密码学家和英国首位计算机科学家，被誉为计算机科学和人工智能之父。

　　他对计算机科学的发展有着很高的影响力，他用图灵机提供了算法和计算概念的形式化，图灵机可以被视为通用计算机的模型。他的图灵测试对人工智能的发展，作出了重要的、典型的、具挑战性的和持久的贡献。

图灵机模型

　　在 1928 年第八届国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862 - 1943）提出了关于数学的三个精辟问题：

• First, was mathematics complete …（数学是完备的吗？）
• Second, was mathematics consistent …（数学是一致的吗？）
• And thirdly, was mathematics decidable ?（数学是可判定的吗？）

　　希尔伯特的第三个问题又被称为判定性问题（Entscheidungsproblem）。为了证否这个命题，1936 年，图灵发表了一篇论文，题为《论可计算数，及其在判定性问题上的应用》（On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem）。在这篇论文里，图灵提出了一种假设的计算装置，他称之为 A-Machine（Automatic Machine，自动机器），这就是图灵机（Turing Machine）。

艾伦·麦席森·图灵

　　1938 年，在美国普林斯顿大学攻读博士学位的图灵，发表了一篇博士论文，题为《基于序数的逻辑系统》（Systems of Logic Based on Ordinals）。在这篇论文里，图灵定义了可计算函数（Computable function）：

• A function is effectively calculable if its values can be found by some purely mechanical process.
• 如果一个函数的值可以通过某种纯机械的过程找到，那么这个函数就可以有效地计算出来。

　　在作为特定计算模型的图灵机上产生的可计算函数，就被称为图灵可计算函数。

　　如果一个计算系统可以计算每一个图灵可计算函数，那么这个系统就是图灵完备的；或者说，这个系统可以模拟通用图灵机。

　　图灵完备性也可以用来描述计算机语言的计算能力。

图灵完备语言

　　具有图灵完备性的计算机语言，就被称为图灵完备语言。绝大多数的编程语言，都是图灵完备语言。这包括：

• 广泛使用的所有通用语言：
  • 过程式语言，如 FORTRAN、Pascal 等。
  • 面向对象语言，如 Java、Python 等。
  • 多范式语言，如 Ada、C++ 等。
• 使用不太常见范式的大多数语言：
  • 函数式语言，如 Haskell、Mercury 等。
  • 逻辑式语言，如 Logtalk、Prolog 等。
  • 声明式语言，如 SQL、XSLT 等。
  • 深奥的语言（Esoteric programming language），一种奇特的数学娱乐形式，程序员用极其困难但数学上图灵等价的语言来实现基本的编程结构。

　　并非所有的计算机语言都是图灵完备的，例如标记语言，或者更恰当地称为“容器语言”或“数据描述语言”，就不是图灵完备的。

　　非图灵完备语言（Non-Turing-complete language），包括 HTML、JSON、XML、YAML 等。