里斯表示定理

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　　在泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理，它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什•里斯。

　　这个定理建立了希尔伯特空间与它的连续对偶空间的一个重要联系：如果底域是实数，两者是等距同构；如果域是复数，两者是等距反同构。如下所述，（反）同构是特别自然的。

　　设 H 是一个希尔伯特空间，令 H ^* 表示它的对偶空间，由从 H 到域 或 的所有连续线性泛函。如果 x 是 H 中一个元素，则函数 φ_x 定义为

　　是 H ^* 的一个元素，这里 表示希尔伯特空间的内积。里斯表示定理断言 H ^* 中任何元素都能惟一地写成这种形式。

　　定理：映射

　　是一个等距（反）同构，这就是说：

• Φ 是双射。
• x 的范数与 Φ(x) 的范数相等：。
• Φ 可加：Φ(x₁ + x₂) = Φ(x₁) + Φ(x₂)。
• 如果底域是 ，则 Φ(λx) = λΦ(x) 对所有实数 λ。
• 如果底域是 ，则 对所有复数 λ，这里 表示 λ 的复共轭。

　　Φ 的逆映射可以描述为： 给定 H ^* 中一个元素 φ，核 φ 的正交补是 H 的一维子空间。取那个子空间中一个非零元素 z，令 。则 Φ(x) = φ。

　　历史上，通常认为这个定理同时由弗里杰什•里斯|里斯和莫里斯•雷内•弗雷歇在1907年发现（见参考文献）。格雷在评论从他认为是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的发展时说：“给定运算 A[f]，可以构造有界变差函数 α(x)，使得无论连续函数f(x) 是什么，都有 ”

　　在量子力学的数学处理中，这个定理可以视为流行的狄拉克符号记法的根据。当定理成立时，每个右括号 有一个相应的左括号 ，对应是清楚的。但是存在拓扑向量空间，比如核空间，里斯表示定理不成立，在这样的情形狄拉克符号变得不合适。

　　下面的定理表示出 C_c(X) 上的正线性泛函，紧空间|紧支集连续函数 (拓扑学)|连续复值函数空间。下面所说的波莱尔集表示由开集生成的 σ-代数。

　　局部紧豪斯多夫空间 X 上一个非负可数可加波莱尔测度 μ 是正规的当且仅当

• μ(K) < ∞ 对所有紧集 K；
• 对每个波莱尔集 E，

开 }.

• 关系

闭 }.

成立只要 E 是开集和 E 是波莱尔集且 μ(E) < ∞。

　　定理：设 X 是一个局部紧豪斯多夫空间。对 C_c(X) 上任何正线性泛函 ψ，在 X 上存在惟一的波莱尔正则测度 μ 使得

对所有 f ∈ C_c(X)。

　　进入测度论的一个途径是从拉东测度开始，定义为 C(X) 上一个正线性泛函。这种方式由布尔巴基采取；这里显然假设 X 首先是一个拓扑空间，而不仅是一个集合。对局部紧空间，重新得到了一个积分理论。

　　下面定理也称为里斯-马尔可夫定理，给出了 C₀(X) 的对偶空间的一个具体实现，X 上在无穷远趋于零的连续函数。定理陈述中的波莱尔集合同样指由开集生成的 σ-代数。结论与上一节类似，但不能包含在前一个结果之中。参见下面的技术性注释。

　　如果 μ 是一个复值可数可加波莱尔测度，μ 是正则的当且仅当非负可数可加测度 |μ| 正则（上一节所定义的）。

　　定理：设 X 是一个局部紧豪斯多夫空间。对 C₀ 上任何连续线性泛函 ψ，存在 X 上惟一正则可数可加波莱尔测度 μ 使得

对所有 f∈ C₀(X)。ψ 的范数作为线性泛函是 μ 的全变差（:en:total variation|total variation），即

　　最后，ψ 是正线性泛函|正的当且仅当测度 μ 是非负的。

　　注：C_c(X) 上任何有界线性泛函惟一延拓为 C₀(X) 上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的闭包 (拓扑学)|闭包。但是 C_c(X) 上一个无界正线性泛函不能延拓为 C₀(X) 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。