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灰数统计方法

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目录

1 什么是灰数统计方法
2 灰数统计方法的内容及原理[2]
3 参考文献

什么是灰数统计方法

　　灰数统计方法是以灰数的白化函数生成为基础,将一些具体数据按某种灰类所描述的类别进行归纳整理,从而来加强对事物认识的一种方法^[1]。

　　灰元、灰数、灰关系是灰色现象的特征，是灰色系统的标志。而灰数又是灰色系统的内核。在技术系统、经济系统、社会系统、教育系统和管理等系统中，人们对某待评项目(指标)的评价不仅包含着许多不确定性、随机性和模糊性，而且涉及到心理因素，故有灰内话。同一评价者在不同次的评定中可能给出不同的结果，不同的评价者其结果可能差异更大，而且在评价中也很难获得一个确切的值(数)，评价者往往用“大约是多少”，“在多少到多少之间”，甚至是“差不多” ，“比较可靠”等方式表达他们的估计。这样的结果值以其内涵被定义为灰数。对这些灰数进行统计分析，一般的方法无能为力，因此而寻求一种方法分析估价这些评价，以减少评价误差。灰数统计原理和方法为解决这类同题提供了科学方法。

灰数统计方法的内容及原理^[2]

　　以某风险性指标(以c表示)的风险性大小为例，选n个评价者在轴

　　上10个等级上给出估计。人们通常不能确定地说是多少，而常给出类似[O.5，0.7]之间的估计，这就是说对于任一评价者来说，虽然不能给出一个确定的点，但其评价总会稳定在一个区间内，记为[O．5，0．7]，k表示第k个评价者。若有n个评价者便可得到n个区间值，形成一个灰数统计序列：

[ $u_1^{(1)},u_2^{(1)}$ ], $[u_1^{(2)},u_2^{(2)}]$ ,..., $[u_1^{(n)},u_2^{(n)}]$

　　这n个小子集叠加在一起则形成覆盖在评价值轴上的一种分布：

　　这种分布可用下式描述：

$\bar{X}_(u)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X[u_1^{(k)},u_2^{(k)}]^{(n)}$ 　　　　(1)

　　其中： $X[u_1^{(k)},u_2^{(k)}]^{(n)}=\begin{cases} 1,& u_1^{(k)}\le u\le u_2^{(k)}\\0,& \mbox{other}\end{cases}$

$\bar{X}_(u)$ 被称为样本落影函数，那么指标c的评价值取为：

$\bar{u}=\int_{u_{min}}^{u_{max}} u \bar{X}(u)\,du \int_{u_{min}}^{u_{max}} \bar{X}(u)\,du$ 　　　　(2)

　　其中 $u m i n$ 和 $u m a x$ 分别为指标c可能的最高、最低取值。可以证明：

$\int_{u_{min}}^{u_{max}} \bar{X}(u)\,du=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n[u_2^{(k)}-u_1^{(k)}]$ 　　　　(3)

$\int_{u_{min}}^{u_{max}} \bar{X}(u)\,du=\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^n[[u_2^{(k)^2}-(u_1^{(k)})^2]$ 　　　　(4)

　　则:

$\bar{u}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n[(u_2^{(k)})^2-(u_1^{(k)})^2]/\sum_{k=1}^n[u_2^{(k)}-u_1^{(k)}]$ 　　　　(5)

　　事实上，它不仅处理不确切的评价，而且很方便地集中了多种意见或试验结果，减少了评价中的随机误差．更重要的是它可以充分利用评价过程中的信息．除获得了评价值 $\bar{u}$ 外，还可通过分析 $\bar{X}(u)$ 获得评价者对指标的把握度。

　　a．当指标可以准确定量时， $\bar{X}(u)$ 是一个常数1。如图1-a，说明评价者对指标的把握度最大。

　　b．当次试验或n个区间估计很不集中时，说明评价者对指标的把握程度较小．此时 $\bar{X}(u)$ 的形状比较扁平(图1-b)。

　　c．当 n个评价区间的分布比较集中，则说明评价者对指标的把握程度较高。此时 $\bar{X}(u)$ 的形状比较尖瘦(图1-c)。

　　以上分析表明n次试验结果分布的集中程度，即 $\bar{X}(u)$ 形状的“胖瘦”反映了评价者对指标的把握度。完全有把握，意见一致，评价值非常集中。把握不大，意见就不一致，评价值就比较分散．于是根据 $\bar{X}(u)$ 我们可分析指标评价的可靠程度。定义

$g=\int_{u_{min}}^{u_{max}} (u-\bar{n})^2\bar{X}(u)\,du/\int_{u_{min}}^{u_{max}} \bar{X}(u)\,du$ 　　　　(6)

　　可以证明：

$\int_{u_{min}}^{u_{max}} (u-\bar{n})^2\bar{X}(u)\,du$ = $\frac{1}{3n}\sum{k=1}^n[(u_2^{(k)}-\bar{u})^3-(u_1^{(k)}-\bar{u})^3]$ 　　　　(7)

　　有式（7）和式（3）有

$g=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n[(u_2^{(k)}-\bar{u})^3-(u_1^{(k)}-\bar{u})^3]/\sum_{k=1}^n[(u_2^{(k)}-u_1^{(k)}]$ 　　　　(8)

　　则很明显，g越大，评价者对指标的把握度越小，指标价值的可靠程度也就越低，故有定义：指标c(第i个指标)的置信度 $b a i$ 为指标评价值可靠程度的一种度．评价值可靠程度越大，指标置信度越高。

$b a i = 1 / (1 - g i)$ 　　　　(9)

　　其中g_i为评价指标i时得到的g；a为置信水平。

　　然而，由于每个指标都得到一个 $b i$ ，故定义指标总置信度为：

$b_a=\frac{1}{m}\sum_{k=1}^m b_{a i}$ 　　　　(10)

参考文献

↑ 黄娟娟.PACS综合效益的评价研究[J].华中科技大学,2006
↑ 金新政,魏承宏.灰数统计方法及应用[J].中国卫生统计,1993(6)

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