代数基本定理

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什么是代数基本定理

  代数基本定理是指任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。也就是说,复数域是代数封闭域。

  有时这个定理表述为:任何一个非零的一元n次复系数多项式,都正好有n个复数根。这似乎是一个更强的命题,但实际上是“至少有一个根”的直接结果,因为不断把多项式除以它的线性因子,即可从有一个根推出有n个根。

  尽管这个定理被命名为“代数基本定理”,但它还没有纯粹的代数证明,许多数学家都相信这种证明不存在。另外,它也不是最基本的代数定理;因为在那个时候,代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程,所以才被命名为代数基本定理。

  卡尔•弗里德里希•高斯一生总共对这个定理给出了四个证明,其中第一个是在他22岁时(1799年)的博士论文中给出的。高斯给出的证明既有几何的,也有函数的,还有积分的方法。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性,开创了关于研究存在性命题的新途径。

  同时,高次代数方程的求解仍然是一大难题。伽罗瓦理论指出,对于一般五次以上的方程,不存在一般的代数解。

代数基本定理证明

  所有的证明都包含了一些数学分析,至少是实数或复数函数的连续函数。有些证明也用到了导数|可微函数,甚至是解析函数。

  定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式,这是因为,给定复系数多项式p(z),以下的多项式

  q(z)=p(z)\overline{p(\overline{z})}

  就是一个实系数多项式,如果z是q(z)的根,那么z或它的共轭复数就是p(z)的根。

  许多非代数证明都用到了“增长引理”:当|z|足够大时,首系数为1的n次多项式函数p(z)的表现如同zn。一个更确切的表述是:存在某个正实数R,使得当|z| > R时,就有: \frac{1}{2}|zn|<|p(z)|<\frac{3}{2}|zn|

复分析证明

证明一

  寻找一个中心为原点,半径为r的闭圆盘D,使得当|z|\ge r时,就有|p(z)|>|p(0)|。因此,|p(z)|在D内的最小值(一定存在,因为D是紧集的),是在D的内部的某个点z0取得,但不能在边界上取得。于是,根据最大模原理,p(z0) = 0。也就是说,z0是p(z)的一个零点(根)。

证明二

  由于在D之外,有|p(z)|>|p(0)|,因此在整个复平面上,|p(z)|的最小值在z0取得。如果 | p(z0) | > 0,那么1/p在整个复平面上是有界的全纯函数,这是因为对于每一个复数z,都有|1/p(z)|\le |1/p(z_0)|。利用刘维尔定理 (有界的整函数一定是常数),可知1/p是常数,因此p是常数。于是得出矛盾,所以p(z0) = 0

证明三

  这个证明用到了辐角原理。设R为足够大的正实数,使得p(z)的每一个根的绝对值都小于R;这个数一定存在,因为n次多项式函数最多有n个根。对于每一个r>R,考虑以下的数:

  \frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{p'(z)}{p(z)}dz

其中c(r)是中心为0,半径为r的逆时针方向的圆;于是辐角原理表明,这个数是p(z)在中心为0、半径为r的开圆盘内的零点的数目N,由于r > R,所以它也是p(z)的零点的总数目。另一方面,n/z沿着c(r)的积分除以2πi,等于n。但这两个数的差为:   \frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{p'(z)}{p(z)}-\frac{n}{z}\,dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{zp'(z)-np(z)}{zp(z)}\,dz.

  被积分的有理表达式中的分子,次数最多是n − 1,而分母的次数是n + 1。因此,当r趋于+∞时,以上的数趋于0。但这个数也等于N − n,因此有N = n。

证明四

  这个证明结合了线性代数和柯西积分定理。为了证明每一个n > 0次复系数多项式都有一个根,只需证明每一个方块矩阵都有一个复数特征值。证明用到了反证法。

  设A为大小n > 0的方块矩阵,并设In为相同大小的单位矩阵。假设A没有特征值。考虑预解函数R(z)=(zI_n-A)^{-1},\,

  它在复平面上是亚纯函数,它的值位于矩阵的向量空间内。A的特征值正好是R(z)的极点。根据假设,A没有特征值,因此函数R(z)是整函数,根据柯西积分定理可知:

  \int_{c(r)} R(z) dz =0.\,

  另一方面,把R(z)展开为几何级数,可得: R(z)=z^{-1}(I_n-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{z^k}A^k\cdot

  这个公式在半径为||A||的闭圆盘的外部(A的算子范数)成立。设r > ||A||。那么:\int_{c(r)}R(z)dz=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{c(r)}\frac{dz}{z^{k+1}}A^k=2\pi iI_n

  (仅当k = 0时,积分才不等于零)。于是得出矛盾,因此A一定有一个特征值。

拓扑学证明

  设z0 ∈ C为使|p(z)|在z0取得最小值的数; 从用到刘维尔定理的证明中,可以看到这样一个数一定存在。我们可以把p(z)写成z −  z0的多项式:存在某个自然数k和一些复数ckck + 1ck + 2...cn,使得c_k\ne 0以及:

  p(z)=p(z_0)+c_k(z-z_0)^k+c_{k+1}(z-z_0)^{k+1}+ \cdots +c_n(z-z_0)^n.

可推出如果a是−pz0/ck的一个k重根,且t是足够小的正数,那么 | p(z0 + ta) | < | p(z0) | ,这是不可能的,因为 | p(z0) | 是|p|在D内的最小值。

 对于另外一个用到反证法的拓扑学证明,假设p(z)没有根。选择一个足够大的正数R,使得对于|z|=R,p(z)的第一项zn大于所有其它的项的和;也就是说, | z | > | an − 1zn − 1 + ... + a0 | 。当z依逆时针方向绕过方程为|z| = R的圆一次时,p(z),像zn那样,依逆时针方向绕过零n次。在另外一个极端,|z| = 0时,“曲线” p(z)仅仅是一个(非零的)点p(0),它的卷绕数显然是0。如果z所经过的回路在这两个极端中被同伦|连续变形,那么p(z)的路径也连续变形。我们可以把这个变形记为H(Reiθ,t) = p((1 − t)Reiθ),其中t大于或等于0,而小于或等于1。如果我们把变量t视为时间,那么在时间为零时,曲线为p(z),时间为1时,曲线为p(0)。显然在每一个点t,根据原先的假设p(z)都不能是零,因此在变形的过程中,曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而,由于绕数在一开始是n,结束时是0,因此得出矛盾。所以,p(z)至少有一个根。

代数证明

  这个证明需要依赖实数集的如下事实:正实数在\mathbb{R}上有实平方根,以及任何奇次多项式在\mathbb{R}上有一个根(这可以用介值定理证明)。

  首先\mathbb{C}=\mathbb{R}[x]/(x^2+1)=\mathbb{R}(i)。经过简单的计算可以证明\mathbb{C}在开平方运算下是封闭的(利用事实1)。结合char\mathbb{C}=0\neq2。得出\mathbb{C}不存在二阶扩张。

  由于char\mathbb{C}=0,于是任何\mathbb{C}的扩张都是可分扩张|可分的,从而任何\mathbb{C}的代数扩张都可以被包含在一个伽罗瓦扩张内。假设K/\mathbb{C}是一个伽罗瓦扩张。考虑伽罗瓦群G=Gal(K/\mathbb{C})的西罗定理|西罗2-子群H。那么[K^H:\mathbb{C}]是奇数。由本原元定理得出,KH存在本原元α,它的极小多项式是奇次的。但是利用实数集的事实2,任何奇次数多项式在实数上有一个根,于是不存在奇次的且次数>1的不可约多项式。于是H=G,K^H=\mathbb{C},[K:\mathbb{C}]是2的幂次。

  假设[K:\mathbb{C}]=2^r并且r>0,再次利用西罗定理,G存在一个阶为2r − 1的子群N。这时[K^N:\mathbb{C}]=2。这和先前\mathbb{C}不存在二阶扩张矛盾。因此\mathbb{C}的任何代数扩张都是\mathbb{C}本身,代数基本定理得证。

代数基本定理的推论

  由于代数基本定理可以视为复数域是代数封闭域|代数封闭的,可推出任何关于代数封闭域的定理在复数域都是适用的。这个定理有一些推论,要么是关于实数域的,要么是关于实数域与复数域之间的关系的:

   复数域是实数域的代数闭包。

   每一个一元实系数多项式都可以表示为常数、x + ζ形式的多项式(a为实数),以及x2 + ax + b形式的多项式(a和b为实数,a2 − 4b < 0)的乘积。

   每一个一元实系数有理函数都可以写成a/(xb)n形式的有理函数(其中n是自然数,a和b是实数),与(ax + b) / (x2 + cx + d)n形式的有理函数(其中n是自然数,a、b、c和d是实数,c2−4d< 0)的和。由此可以推出,任何一个一元实系数有理函数都有一个初等函数。

   实数域的任何一个代数扩张要么与实数域同构,要么与复数域同构。

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