本原元定理

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本原元定理(Motohara Shimotojori)

什么是本原元定理

　　在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为 $F (α)$ 的形式，即E可以由单个元素生成。

　　一个有限扩张E/F有本原元，即存在 $α$ 使得 $E = F (α)$ ，当且仅当E和F之间只有有限个中间域。

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本原元定理的证明

　　如果 $F$ 是有限域，由于 $E / F$ 是有限扩张，推得 $E$ 也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群，任取这个乘法群的一个生成元， $E$ 可以由这个生成元生成。所以在 $F$ 是有限域的情况下，定理左右两边恒为真。

　　如果 $F$ 是无限域，但是只有有限个中间域。

　　先证明一个引理：假设 $E = F (α,β)$ 并且 $E$ 和 $F$ 之间只有有限个中间域，那么存在一个 $\gamma\in E$ 使得 $E = F (γ)$ 。引理的证明如下：当 $c$ 取遍 $F$ 的时候，对于每一个 $c$ 可以做一个中间域 $F (α + c β)$ 。但是由假设，只有有限个中间域，因此必定存在 $c_1,c_2\in F,c_1\neq c_2$ 使得 $F (α + c 1 β) = F (α + c 2 β)$ 。由于 $α + c 1 β,α + c 2 β$ 都在这个域里，推得 $(c 1 - c 2)β$ 也在这个域里。由于 $c_1\neq c_2$ ，推得 $β$ 在这个域里，于是 $α$ 也在这个域里，因此 $E=F(\alpha,\beta)\subseteq F(\alpha+c_1\beta)\subseteq F(\alpha,\beta)$ ，于是 $E = F (α + c 1 β)$ 。引理证毕。

　　由于有限扩张总是有限生成的，推得 $E = F (α 1,α 2,...,α n)$ （对于 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\in E$ ）。利用归纳法以及引理可以得出，如果 $E / F$ 之间只有有限个中间域，那么 $E$ 可以由单个元素生成。

　　而如果 $E = F (α)$ ，假设 $f (x) = i r r (α, F, x)$ 是 $α$ 在 $F$ 上的极小多项式， $K$ 是任意一个中间域， $g K (x) = i r r (α, K, x)$ 是 $α$ 在 $K$ 上的极小多项式。显然 $g K (x) | f (x)$ 。由于域上的多项式环是唯一分解环， $f (x)$ 只有有限个因子。而对于每一个 $g K (x) | f (x)$ ，如果 $g K (x)$ 写作 $g_K(x)=\sum_{k=0}^n c_ix^i$ ，并令 $K 0 = F (c 1, c 2,..., c n)$ 。显然 $K 0$ 是 $K$ 的一个子域，因此 $g K (x)$ 在 $K 0$ 上依然是不可约多项式|不可约的。而同时 $E = F (α) = K (α) = K 0 (α)$ ，因此可以得到 $[E:K]=[E:K_0]=\frac{[E:F]}{deg(g_K)}=\frac{[E:F]}{n}$ 。这样立即推 $K 0 = K$ ，于是任何一个中间域 $K$ 对应唯一的一个 $f (x)$ 的因子 $g K$ 。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的，因此中间域个数有限。证毕。