本原元定理

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本原元定理(Motohara Shimotojori)

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什么是本原元定理

  在数学中,本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F,E可以表示为F(α)的形式,即E可以由单个元素生成。

  一个有限扩张E/F有本原元,即存在α使得E = F(α),当且仅当E和F之间只有有限个中间域。

本原元定理的证明

  如果F是有限域,由于E / F是有限扩张,推得E也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群,任取这个乘法群的一个生成元,E可以由这个生成元生成。所以在F是有限域的情况下,定理左右两边恒为真。

  如果F是无限域,但是只有有限个中间域。

  先证明一个引理:假设E = F(α,β)并且EF之间只有有限个中间域,那么存在一个\gamma\in E使得E = F(γ)。引理的证明如下:当c取遍F的时候,对于每一个c可以做一个中间域F(α + cβ)。但是由假设,只有有限个中间域,因此必定存在c_1,c_2\in F,c_1\neq c_2使得F(α + c1β) = F(α + c2β)。由于α + c1β,α + c2β都在这个域里,推得(c1c2也在这个域里。由于c_1\neq c_2,推得β在这个域里,于是α也在这个域里,因此E=F(\alpha,\beta)\subseteq F(\alpha+c_1\beta)\subseteq F(\alpha,\beta),于是E = F(α + c1β)。引理证毕。

   由于有限扩张总是有限生成的,推得E = F12,...,αn)(对于\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\in E)。利用归纳法以及引理可以得出,如果E / F之间只有有限个中间域,那么E可以由单个元素生成。

  而如果E = F(α),假设f(x) = irr(α,F,x)αF上的极小多项式,K是任意一个中间域,gK(x) = irr(α,K,x)αK上的极小多项式。显然gK(x) | f(x)。由于域上的多项式环是唯一分解环,f(x)只有有限个因子。而对于每一个gK(x) | f(x),如果gK(x)写作g_K(x)=\sum_{k=0}^n c_ix^i,并令K0 = F(c1,c2,...,cn)。显然K0K的一个子域,因此gK(x)K0上依然是不可约多项式|不可约的。而同时E = F(α) = K(α) = K0(α),因此可以得到[E:K]=[E:K_0]=\frac{[E:F]}{deg(g_K)}=\frac{[E:F]}{n}。这样立即推K0 = K,于是任何一个中间域K对应唯一的一个f(x)的因子gK。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的,因此中间域个数有限。证毕。

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