二项期权定价模型

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二项期权定价模型（Binomial options pricing model，SCRR Model，BOPM）

　　Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点, 但是它的推导过程难以为人们所接受。在1979年, 罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型, 称为二项式模型(Binomial Model)或二叉树法(Binomial tree)。

　　二项期权定价模型由约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯（Stephen A. Ross）、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）和威廉·夏普(William F. Sharpe)等人提出的一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价值。

　　二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。

　　1973年，布莱克和休尔斯(Blackand Scholes)提出了布莱克-休尔斯期权定价公式，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。1976年，约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯(Stephen A. Ross)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。

　　1979年，约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯(Stephen A. Ross)、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。

　　二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型，是两种相互补充的方法。二项式期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。二项式期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二项式期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。

　　随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布，二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型相一致。二项式期权定价模型的优点，是简化了期权定价的计算并增加了直观性，因此现在已成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。

　　一般来说，二项期权定价模型的基本假设是在每一时期股价的变动方向只有两个，即上升或下降。BOPM的定价依据是在期权在第一次买进时，能建立起一个零风险套头交易，或者说可以使用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价 格；反之，如果存在套利机会，投资者则可以买两种产品种价格便宜者，卖出价格较高者，从而获得无风险收益，当然这种套利机会只会在极短的时间里存在。这一 证券组合的主要功能是给出了买权的定价方法。与期货不同的是，期货的套头交易一旦建立就不用改变，而期权的套头交易则需不断调整，直至期权到期。

　　二项树期权定价模型的应用非常广泛，因为它能够在很多情况下使用，而其他模型往往只能针对特定的情况。广泛的应用性是因为二项树期权定价模型基于标的资产在一段时间内的变化，而非一个时间点的价格。因此，二项树期权定价模型可以用于可在任意时间行权的美式期权的定价，也可应用于可在一系列特定时间行权的百慕大期权的定价。因为它的简单性，二项树期权定价模型已经被内置于众多软件中。

　　虽然计算要慢于布莱克-舒尔斯-墨顿模型（BSM Model），但是二项树期权定价模型更加准确，特别是应用于时间长且会有分红的股票期权。

　　应用：

　　第一步：创建价格二项树

　　价格二项树的创建由估值日向期权到期日一步一步向前推。

　　在每一步，假设标的资产价格都会移动u或者d（u>=1, 0<d<=1）。所以，如果S是当前价格，那么在下一步，价格会变成Su=S*u，或者Sd=S*d。价格移动的幅度取决于标的资产价格的波动率σ，和每一步的以年表示的时间长度t。

　　u=

　　d==

　　如果标的资产价格向上移动u，再向下移动d, 那么价格又回到了移动之前。这个特性让每个节点的资产价格能通过简单的公式计算出来，而不需要首先构建价格二项树。

　　S_n=S₀×

　　其中 Nu是价格向上运行的次数，Nd是价格向下运动的次数。

　　第二步：找出每个最终节点上的期权价值

　　在二项树的每一个最终节点上，即期权的到期日，期权的价格为它的内在价值，也就是执行价值。

　　对于认购期权：Max [ (Sn-K), 0 ]

　　对于认沽期权：Max [ ( K–Sn ), 0 ]

　　其中

　　K是期权的行权价格；

　　Sn是标的资产在第n

　　第三步：找出更早节点上期权的价值

　　1）在风险中性假设下，今天一个衍生品的公允价格等于它以无风险利率来折现的未来收益的期望价值。因此，期望价值的可由之后的两个节点计算得出，分别给价格向上运动赋予概率p，给价格向下运动的赋予概率（1-p）。

　　期权价值 = [ p × Option up + (1-p) × Option down] × exp (- r × Δt)

　　或者

　　其中

　　C_t,i是第i^th个节点在时间t的价值；

　　p=是标的资产价格向上运动的概率；

　　q 是标的资产在期权到期前的股息收益率。

　　1）根据此方法，求出来的即为二项树价值。它代表了给定价格变化的情况下，期权在特点时点的公允价值。

　　2）根据期权类型的不同，判断每一个节点上期权提前执行的概率：如果期权能够执行，且行权价值高于二项树价值；那么节点价值为行权价值。

　　对于欧式期权，期权不能提前执行，二项树价值可应用于所有节点。

　　对于美式期权，因为期权可以持有，也可在到期日前行权，所以在每个节点上，期权价值为Max(二项树价值，行权价值)。

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