度规函数

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度规函数（Gauge Functions）

　　度规函数是指考虑两产品的标准函数，该函数图形是描述带有生产前沿fr(P)的机会集合P。对于P内的任惫点x¹，如果能衡量其效率损失如何的低是有用的。即这一点离前沿多远。这么做的一种简单方法，首先是要求出点。它正好是x¹的比例变化，对某个,有。这样，置J(x¹ | P) = λ₂，就定义了测定任意这样的点相对于P的函数Jx¹ | P。为便它是有效的度量，它显然应该具有这样一种特性:当且仅当就有J(x | P) = 1。

　　度规函数有二个类型：第1种，简称为度规函数，是对闵可夫斯基距离函数，而有时也叫作闵可夫斯基泛函的直接推广。这种函数在数学中是常用的，但在经济学中至今仍很少用，至少没有明显地用过。它们最适合位于原点附近的有界集合，诸如P以上部分以及麦肯齐的交易集合X_i。

　　第二种度规函数在数学中鲜为人知，但在经济学中却常常用到。它主要是对于不包括原点的无界集合而言的，诸如B^{t}以上部分和生产理论中的类似集合。经济学家们给予这些函数许多命名，其中有“距离“函数、“变换”函数和“折缩”函数。

　　度规函数是数学凸分析的一个重要函数。设E为或上的矢量空间，有需要时可以假设为拓扑矢量空间。设C为在E内的凸集，且包含原点。那么C的度规函数p是从E到的函数，定义为

　　,

　　如果C为空集，定义。

　　从定义立刻得到以下结果，可以进一步说明度规函数：

　　若C是在E中的开集，那么；

　　若C是在E中的闭集，那么。

　　同样地可立刻看出这条件当0是C的内点时成立。易证逆命题在有限维时成立：简洁做法是看到p既是有限值和处处定义的凸函数，因而p连续，故此包含在C内且是0的邻域。

　　当0是在C的内部时，可以想象这样一幅图画：函数取值1的点正好是凸集C的拓扑边界，其他正数值的水平面是其位似形。如果有不在任一个水平面上的点，函数在该点取值为0。

　　最后再补充一点。在实矢量空间时，C相对0点对称，其度规函数避开值，这度规函数便是半范数；在复矢量空间也有同样结论，只需把对称的定义，修改为与任何模为1的复数相乘都不变。

　　从定义看出度规函数在原点外一点x₀取0值，当且仅当从原点过x₀的射线包含在凸集内。

　　因此立刻可知在赋范矢量空间内，有界凸集的度规函数不在原点外取0值。

　　逆命题对有限维空间内的闭凸集成立，用半径为1的球面的紧致性证明。