貝克萊悖論

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　　十七世紀後期，艾薩克·牛頓（Isaac Newton)、戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）創立微積分學，成為解決眾多問題的重要而有力的工具，併在實際應用中獲得了巨大成功，然而，微積分學產生伊始，迎來的並非全是掌聲，在當時它還遭到了許多人的強烈攻擊和指責，原因在於當時的微積分主要建立在無窮小分析之上，而無窮小後來證明是包含邏輯矛盾的。

　　1734年，大主教喬治•貝克萊(George Berkeley) “渺小的哲學家”之名出版了一本標題很長的書《分析學家；或一篇致一位不信神數學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理》。在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進行了攻擊。例如他指責牛頓，為計算比如說x²的導數，先將x取一個不為0的增量Δx，由(x + Δx)² − x² ，得到2xΔx + (Δx²) ，後再被Δx除，得到2x + Δx，最後突然令Δx = 0 ，求得導數為2x 。這是“依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果”。因為無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零。因此，貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量的幽靈”。貝克萊的攻擊雖說出自維護神學的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。

　　數學史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”。籠統地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。

　　對於無窮小量所帶來的數學本身非邏輯非嚴謹性的問題,那些曾具體從事微積分研究的數學家們早就有過這樣或那樣的思考,在他們之間並展開過激烈的討論和爭論。從數學的角度看,如何較好地理解這一問題或許可以被看成一個純技術性的問題;但是,從文化的角度看,我們又只有從更為廣泛的角度去進行考察,特別是密切聯繫當時在歐洲人生活中占重要地位的基督教文化,才能更好地理解圍繞無窮小運算所展開的激烈爭論及其內涵。

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