多項式矩陣

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出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

什麼是多項式矩陣

　　多項式矩陣是指數學中矩陣論里繫數是多項式的方塊矩陣。

　　給定自然數和繫數環 $\mathbf{R}$ ，一個階多項式矩陣為如下形式：

$A(\lambda)=[a_{i,j}(\lambda)]_{1\le i,j\le n}$ , $\forall 1\le i,j\le n$ , $a_{i,j}(\lambda)=\sum_{k=0}^{d_{i,j}}a_{i,j,k}\lambda^k\in R[\lambda]$ ，

　　其中 $d i, j$ 是每個多項式 $a i, j (λ)$ 的次數。

　　如果設其中最大的為d：

d = m a x d i, j

， $1\le i$ , $j\le n$

　　那麼多項式矩陣也可以表達為：

$A=\sum_{k=0}^d \lambda^k[a_{i,j,k}]=\sum_{k=0}^d A(K)\lambda^k$ ， $1\le i,j\le n$

　　其中約定當 $k > d i, j$ 時， $a i, j, k = 0$ .

　　由於多項式矩陣也能被表達為以（數值）矩陣為繫數的多項式，所以也被稱為矩陣繫數多項式。如果最高次繫數矩陣 $A (d)$ 的行列式不為零，則稱多項式矩陣為為正則多項式矩陣。所有階多項式矩陣的集合記為 $\mathcal{M}_{n}(\mathbf{R}\left[\lambda\right])$ 或 $\mathcal{M}_{n}(\mathbf{R})\left[\lambda\right]$ 。前者表示所有以多項式為繫數的階方塊矩陣的集合，後者表示所有階方塊矩陣為繫數的多項式的集合。可以驗證兩者是同構的。

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多項式矩陣的性質

　　由於多項式代數和矩陣代數的結構特性，環R上的所有階多項式矩陣也構成一個代數(環論)。兩個階多項式矩陣可以互相加減、相乘，並且滿足加法交換律和乘法分配律（不滿足乘法交換律）。用與數值矩陣相同的方式可以定義多項式矩陣的初等變換、相似矩陣、等價關係（也稱為“相抵”）、矩陣的秩以及行列式。

　　如果繫數環是域，那麼可以證明，所有的多項式矩陣都可以矩陣對角化|對角化。任何一個矩陣的秩的多項式矩陣，都可以相抵於一個對角多項式矩陣：

$a\operatorname{diag}(d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_r(\lambda),0,\cdots,0)$

　　其中的每個非零的對角元素 $d i (λ)$ 都是首一多項式，並且整除下一個對角元素 $d i + 1 (λ)$ 。這種形式稱為多項式矩陣的史密斯標準型，所有的 $d i (λ)$ 被稱為原多項式矩陣的不變因數。

　　如果將階多項式矩陣看成以階方塊矩陣為繫數的多項式，可以通過將其中的不定元替換為一個階方塊數值矩陣，而得到一個階數值矩陣。這種操作稱為多項式矩陣的矩陣替換。由於矩陣乘法不滿足交換律，所以替換分為左替換和右替換：

左替換：將 $\sum_{k=0}^dA(k)\lambda^k$ 替換為 $\sum_{k=0}^dB^k*A(k)$ 也記作 $P_l^A(B)$

右替換：將 $\sum_{k=0}^dA(k)\lambda^k$ 替換為 $\sum_{k=0}^dA(k)*B^k$ 也記作 $P_r^A(B)$

　　如果繫數環是域，那麼多項式矩陣之間可以做帶餘除法：如果 $A (λ)$ 和 $B (λ)$ 都是多項式矩陣，其中 $B(\lambda)\neq0$ ，那麼唯一存在多項式矩陣 $Q (λ)$ 和 $R (λ)$ ，則 $A (λ) = B (λ) Q (λ) + R (λ)$ $R (λ)$ 作為多項式的次數嚴格小於 $B (λ)$ ，或者為零。

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多項式矩陣的例子

　　所有的數值矩陣都是多項式矩陣，因為可以將每個元素看成一個零多項式。設繫數環為實數域，以下是一個3階多項式矩陣：

$P=\begin{pmatrix} 1&x^2&x\\ 0&2x&2\\ 3x+2&x^2-1&0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&2\\ 2&-1&0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&2&0\\ 3&0&0 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}x^2.$