多項式矩陣

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什麼是多項式矩陣

  多項式矩陣是指數學中矩陣論里繫數是多項式的方塊矩陣。

  給定自然數和繫數環\mathbf{R},一個階多項式矩陣為如下形式:

A(\lambda)=[a_{i,j}(\lambda)]_{1\le i,j\le n},\forall 1\le i,j\le n,a_{i,j}(\lambda)=\sum_{k=0}^{d_{i,j}}a_{i,j,k}\lambda^k\in R[\lambda]

  其中di,j是每個多項式ai,j(λ)次數

  如果設其中最大的為d:

d = maxdi,j1\le i, j\le n

  那麼多項式矩陣也可以表達為:

A=\sum_{k=0}^d \lambda^k[a_{i,j,k}]=\sum_{k=0}^d A(K)\lambda^k1\le i,j\le n

  其中約定當k > di,j時,ai,j,k = 0.

  由於多項式矩陣也能被表達為以(數值)矩陣為繫數的多項式,所以也被稱為矩陣繫數多項式。如果最高次繫數矩陣A(d)行列式不為零,則稱多項式矩陣為為正則多項式矩陣。所有階多項式矩陣的集合記為\mathcal{M}_{n}(\mathbf{R}\left[\lambda\right])\mathcal{M}_{n}(\mathbf{R})\left[\lambda\right]。前者表示所有以多項式為繫數的階方塊矩陣的集合,後者表示所有階方塊矩陣為繫數的多項式的集合。可以驗證兩者是同構的。

多項式矩陣的性質

  由於多項式代數和矩陣代數的結構特性,環R上的所有階多項式矩陣也構成一個代數(環論)。兩個階多項式矩陣可以互相加減、相乘,並且滿足加法交換律和乘法分配律(不滿足乘法交換律)。用與數值矩陣相同的方式可以定義多項式矩陣的初等變換、相似矩陣、等價關係(也稱為“相抵”)、矩陣的秩以及行列式。

  如果繫數環是域,那麼可以證明,所有的多項式矩陣都可以矩陣對角化|對角化。任何一個矩陣的秩的多項式矩陣,都可以相抵於一個對角多項式矩陣:

a\operatorname{diag}(d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_r(\lambda),0,\cdots,0)

  其中的每個非零的對角元素di(λ)都是首一多項式,並且整除下一個對角元素di + 1(λ)。這種形式稱為多項式矩陣的史密斯標準型,所有的di(λ)被稱為原多項式矩陣的不變因數。

  如果將階多項式矩陣看成以階方塊矩陣為繫數的多項式,可以通過將其中的不定元替換為一個階方塊數值矩陣,而得到一個階數值矩陣。這種操作稱為多項式矩陣的矩陣替換。由於矩陣乘法不滿足交換律,所以替換分為左替換和右替換:

左替換:將\sum_{k=0}^dA(k)\lambda^k替換為\sum_{k=0}^dB^k*A(k)也記作P_l^A(B)
右替換:將\sum_{k=0}^dA(k)\lambda^k替換為\sum_{k=0}^dA(k)*B^k也記作P_r^A(B)

  如果繫數環是域,那麼多項式矩陣之間可以做帶餘除法:如果A(λ)B(λ)都是多項式矩陣,其中B(\lambda)\neq0,那麼唯一存在多項式矩陣Q(λ)R(λ),則 A(λ) = B(λ)Q(λ) + R(λ) R(λ)作為多項式的次數嚴格小於B(λ),或者為零。

多項式矩陣的例子

  所有的數值矩陣都是多項式矩陣,因為可以將每個元素看成一個零多項式。設繫數環為實數域,以下是一個3階多項式矩陣:

P=\begin{pmatrix} 1&x^2&x\\ 0&2x&2\\ 3x+2&x^2-1&0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&2\\ 2&-1&0 \end{pmatrix}  +\begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&2&0\\ 3&0&0 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}x^2.

  特征矩陣是多項式矩陣的一個例子。設有階數值矩陣,則特征矩陣實際上是一次多項式矩陣:P_A(\lambda)=\lambda\mathbf{I}_n-A。而特征矩陣的行列式\det\left(\lambda\mathbf{I}_n-A\right)就是數值矩陣的特征多項式。

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