古爾丁定理

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古爾丁定理(Goulding theorem)

什麼是古爾丁定理

　　古爾丁定理是指最初由古希臘的帕普斯發現，後來在16世紀保羅•高爾丁又重新發現的數學定理。

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古爾丁定理的運用

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古爾丁定理求錶面積

　　有一條平面曲線，跟它的同一個平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的錶面積 $A$ ，等於曲線的長度 $s$ 乘以曲線的幾何中心經過的距離 $d 1$ ： $A = s d 1$ 。

　　例：設環面圓管半徑為 $r$ ，圓管中心到環面中心距離為 $R$ ，把環面看成上面提到的曲線，其幾何中心是圓管中心。所以環面錶面積為 $(2π r)(2π R) = 4π 2 r R$

　　若有平面連續曲線 $y = f (x)$ ，求 $x$ 在 $[a, b]$ 時，曲線以 $x$ 軸旋轉所得的曲面錶面積。可考慮一小段曲線，其幾何中心便是 $y$ ，曲線長度為 $\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}$ ，因此這個曲面的錶面積便是： $2 \pi \int_a^b y \sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2} \; \mathrm{d}x$ 。