古尔丁定理

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古尔丁定理(Goulding theorem)

什么是古尔丁定理

　　古尔丁定理是指最初由古希腊的帕普斯发现，后来在16世纪保罗•高尔丁又重新发现的数学定理。

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古尔丁定理的运用

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古尔丁定理求表面积

　　有一条平面曲线，跟它的同一个平面上有一条轴。由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转曲面的表面积 $A$ ，等于曲线的长度 $s$ 乘以曲线的几何中心经过的距离 $d 1$ ： $A = s d 1$ 。

　　例：设环面圆管半径为 $r$ ，圆管中心到环面中心距离为 $R$ ，把环面看成上面提到的曲线，其几何中心是圆管中心。所以环面表面积为 $(2π r)(2π R) = 4π 2 r R$

　　若有平面连续曲线 $y = f (x)$ ，求 $x$ 在 $[a, b]$ 时，曲线以 $x$ 轴旋转所得的曲面表面积。可考虑一小段曲线，其几何中心便是 $y$ ，曲线长度为 $\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}$ ，因此这个曲面的表面积便是： $2 \pi \int_a^b y \sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2} \; \mathrm{d}x$ 。