古尔丁定理

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古尔丁定理(Goulding theorem)

目录

什么是古尔丁定理

  古尔丁定理是指最初由古希腊的帕普斯发现,后来在16世纪保罗•高尔丁又重新发现的数学定理。

古尔丁定理的运用

古尔丁定理求表面积

  有一条平面曲线,跟它的同一个平面上有一条轴。由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转曲面的表面积A,等于曲线的长度s乘以曲线的几何中心经过的距离d1A = sd1

   例:设环面圆管半径为r,圆管中心到环面中心距离为R,把环面看成上面提到的曲线,其几何中心是圆管中心。所以环面表面积为(2πr)(2πR) = 4π2rR

  若有平面连续曲线y = f(x),求x[a,b]时,曲线以x轴旋转所得的曲面表面积。可考虑一小段曲线,其几何中心便是y,曲线长度为\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2},因此这个曲面的表面积便是: 2 \pi \int_a^b y \sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2} \; \mathrm{d}x

古尔丁定理求体积

  由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积V,等于平面形状面积S乘以平面形状的几何中心经过的距离d1的积:V = Sd1

  再考虑一般平面曲线下的面积的情况,可得旋转体体积V = \pi \int_a^b y^2  \; \mathrm{d}x

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