亞拉巴馬悖論

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　　選票分配的基本原則是公平合理，要做到公平合理。一個簡單的辦法是，選票按人數比例分配。但是會出現這樣的問題：人數的比例常常不是整數。一個簡單的辦法是四捨五入，可四捨五入的結果可能會出現名額多餘，或名額不足的情況。因為有這個缺點，美國喬治·華盛頓時代的財政部長亞歷山大·漢密爾頓在1790年提出一個解決名額分配的辦法，並於1792年為美國國會所通過。

　　美國國會的議員是按州分配。假定美國的人口數是p，各州的人口數分別是p₁,p₂,Λ,p_l。再假定議員的總數是n，記：

　　稱它為第i個州分配的份額.漢密爾頓方法的具體操作如下：

　　(1) 取各州份額q_i的整數部分[q_i]，讓第i個州先擁有[q_i]個議員。

　　(2) 然後考慮各個q_i的小數部分{q_i}，按從大到小的順序將餘下的名額分配給相應的州，直到名額分配完為止。

　　漢密爾頓方法看起來十分合理，但是仍存在問題。按照常規，假定各州的人口比例不變，議員名額的總數由於某種原因而增加的話，那麼各州的議員名額數或者不變，或者增加，至少不應該減少，可是漢密爾頓方法卻不能滿足這一常規。1880年，亞拉巴馬州曾面臨這種狀況，人們把漢密爾頓方法產生的這一矛盾叫作亞拉巴馬悖論。

　　這個問題從誕生之日起，就一直吸引著眾多政治家和數學家去研究。這裡要特別提出的是，1952年數學家阿羅證明瞭一個令人吃驚的定理——阿羅不可能定理，即不可能找到一個公平合理的選舉系統。這就是說，只有相對合理，沒有絕對合理。原來世上本無“公”！阿羅不可能定理是數學應用於社會科學的一個裡程碑。

　　假定某學院有三個系，總人數是200人，學生會需要選舉20名委員，表1是按漢密爾頓方法進行分配的結果。

　　表1：

　　由於考慮到20個委員在表決提案時會出現10:10的結局，所以學生會決定增加1名委員。按照漢密爾頓方法分配名額得到表2。

　　表2：

　　表2的例子指出，委員的名額增多了，但丙系反而減少一名，令丙系不能接受！