阿蒂亚-辛格指标定理

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什么是阿蒂亚-辛格指标定理

  在数学中,阿蒂亚-辛格指标定理是指:对于紧流形上的椭圆偏微分算子,其解析指标(与解空间的维度相关)等于拓扑指标(决定于流形的拓扑性状)。它涵摄了微分几何中许多大定理,在理论物理学中亦有应用。

  此定理由迈克尔•阿蒂亚与艾沙道尔•辛格于1963年证出。

阿蒂亚-辛格指标定理微分算子的符号

  X 是紧微分流形。

  E 与 F 是 X 上的向量丛。

  D: E \to F'是向量丛之间的椭圆偏微分算子。

  设 D 是带 k 个变元 x_1, \ldots, x_kn 阶微分算子。其符号定义是以 x_1, \ldots, x_k, y_1, \ldots, y_k 为变元的函数,其定义是将

   D = \sum_{r=0}^n \sum_{i_1 + \ldots + i_k = r} a_{i_1, \ldots, i_k}(\vec x) \partial_{x_1}^{i_1} \cdots \partial_{x_k}^{i_k}

  映至

   \sum_{i_1 + \ldots + i_k = n}  a_{i_1, \ldots, i_k}(\vec x) y_1^{i_1} \cdots y_k^{i_k}

  因此符号对变元 \vec y 是个 n 次齐次多项式。若此多项式满足 P(\vec y) = 0 \Leftrightarrow \vec y=0,则称 D 是椭圆算子。

  例一:带 k 个变元的拉普拉斯算子其符号为 y_1^2 + \ldots y_k^2,这是一个椭圆算子。

  以上所述是 \mathbb{R}^k 上的偏微分算子。今考虑微分流形 X,其上的 n 阶偏微分算子可以藉局部坐标系定义。此时其符号是 X 的余切丛 p: T^* X \to X 上的函数;对固定的 x \in X,其符号是向量空间 T^*_x X 上的 n 次齐次函数,此定义与局部坐标的选取无关(偏微分算子在坐标变换下的变换较为复杂,只能以射流丛定义;然而其最高阶项的变换规律似于张量)。

  进一步言之,对于向量丛之间的偏微分算子 D: E \to F(一样以局部坐标定义),其符号是拉回丛 pHom(E,F) 的截面。若对每个 x \in X,此符号限制为可逆映像 E_x \to F_x,则称 D 为椭圆算子。

  粗略来说,椭圆算子的关键特性在于它们几乎可逆。对于紧流形上的椭圆算子 D: E \to F,存在一个椭圆伪微分算子 D' 使得 DD'D'D 都是紧算子。由此可推知 D 的核与余核都是有限维的。

阿蒂亚-辛格指标定理的指标解析

  既然 D 有伪逆,它便是 Fredholm 算子。对这类算子,可定义指标为

Index(D) = Dim Ker(D) − Dim Coker(D) = Dim Ker(D) − Dim Ker(D)。

  在微分几何的脉络下,常另称为D的解析指标。

  例二:考虑流形 \mathbb{S}^1 := \mathbb{R}/\mathbb{Z},算子 D = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} - \lambda,其中 \lambda \in \mathbb{C},这是最简单的椭圆算子。若 \lambda \in 2\pi i \mathbb{Z},则 \mathrm{Ker}(D) = \mathbb{C} e^{\lambda x},反之则为零空间;其伴随算子 D * 满足类似的性质,不难算出 D指数为零。由此例可见 \dim \mathrm{Ker}(D)\dim \mathrm{Ker}(D^)λ 变化时可能有不连续点,但其差则是个常数。

阿蒂亚-辛格指标定理的拓扑指标

  设 X 是 n 维紧微分流形,椭圆偏微分算子 D: E \to F 的拓扑指标定义为

   ch(D)Td(X)[X]

  换言之,是同调类 ch(D)Td(X) 的最高维项在 X 的基本同调类上的取值。在此:

   Td(X) 是流形的 Todd 类。

   ch(D) = φ − 1(ch(d(pE,pF,σ(D))),在此 \phi : H^k(X,\mathbb{Q}) \to H^{n+k}(B(X)/S(X), \mathbb{Q}) 是托姆同构,B(X),S(X) 指单位球丛及其边界。

   ch 是陈特征,σ(D)D 的符号,而 d(pE,pF,σ(D)) 是 K 理论中定义的差元。

阿蒂亚-辛格指标定理的指标定理

  符号同前。椭圆算子 D 的解析指标在微小的扰动下不变,因此产生了一个自然的问题,称为指标问题:可否以流形 X 及向量丛 E,F 的拓扑不变量表示解析指标?

  阿蒂亚-辛格指标定理给出的解答是:

  D 的解析指标等于拓扑指标

  解析指标通常难以计算,而拓扑指标尽管定义复杂,却往往有直截了当的几何意义。藉由选取适当的椭圆算子 D: E \to F,指标定理可以给出丰富的几何信息。

阿蒂亚-辛格指标定理的历史渊源

  盖尔芳特首先注意到解析指标的同伦不变性,并在1959年提出了椭圆算子的指标问题,希望以流形的拓扑不变量描述解析指标。黎曼-罗赫定理是最早知道的特例;另一方面,波莱尔与希策布鲁赫早先证明了自旋流形的Â亏格的整性,并猜想这个性质可以由某个狄拉克算子的指标诠释。这个问题也由阿蒂亚与辛格在1961年连手解决。

  阿蒂亚与辛格在1963年宣布他们的指标定理,但一直没有正式发表,只出现在 Palais 在1965年出版的书上。他们在1968年发表了第二个证明,用K理论取代了初版证明中的配边论手法。

  阿蒂亚、拉乌尔•博特与 Patodi 在 1973 年以热传导方程的手法给出另一个证明。格茨勒基于爱德华•维腾(1982)及 Alvarez-Gaume(1983)的想法,给出了局部狄拉克算子的局部指标定理的简短证明,这涵摄了实际应用中的大多数例子。

阿蒂亚-辛格指标定理的证明手法

伪微分算子

  伪微分算子的想法可以从欧氏空间上的常系数偏微分算子解释,在此情况下,这些算子不外是多项式函数的傅立叶变换;如果我们容许更一般的函数,其傅立叶变换就构成了伪微分算子。对于一般的流形,可以透过局部坐标系定义伪微分算子,只是手续稍微繁琐一些。

  指标定理的许多证明中都利用伪微分算子,而非一般的微分算子,因为前者的理论更富弹性。举例来说,椭圆算子的伪逆不是微分算子,却仍是伪微分算子;另一方面,群 K(B(X),S(X)) 的元素对应到椭圆伪微分算子的符号。

  对伪微分算子可以定义阶数,这个数可以是任意实数,甚至是负无穷大;此外也能定义其符号。椭圆伪微分算子定义为对长度够长的余切向量为可逆的伪微分算子。指标定理的多数版本皆可推广到椭圆伪微分算子的情形。

配边

  指标定理的首个证明奠基于希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理,并运用到配边理论与伪微分算子。想法简述如下。

  考虑由资料 (X,V) 构成的环,其中 X 是紧定向微分流形,V \to X 是向量丛,其加法与乘法分别由不交并与积导出;我们考虑此环对关系 (\partial X, V|_{\partial X}) \sim 0 的商环。这个构造类似于配边环,不过此时我们还虑及流形上的向量丛。解析指标与拓扑指标皆可诠释为从此环映至整数环的同态。托姆的配边理论给出了这个环的一组生成元,我们可以对这些较简单的例子验证指标定理,从而导出一般的情形。

K 理论

  阿蒂亚与辛格正式发表的第一个证明采用了K理论。设 X,Y 为紧流形,i: X \to Y 为闭浸入,他们对椭圆算子定义了一个推前运算 i!,并证明 i! 保持指标。我们一方面可取 Y 为一个包括 X 的高维球面;另一方面,仍取 Y 为前述球面,而 X 为其内一点。由于 i! 保持指标,而拓扑指标也具备兼容的运算,两相比较后可将指标定理化约到一个点的情形,此时极易证明。

热传导方程

  阿蒂亚、博特 与 Patodi 在1973年给出了热传导方程手法的证明。格茨勒、伯利纳与弗尼在2002年给出一个精神相近的简化证明,其中利用了超对称的想法。

  设 D 为偏微分算子,D * 为其伴随算子,则 D * DDD * 是自伴算子,并具有相同的非零特征值(记入重数),但是它们核空间不一定有相同维度。D 的指标写作

   \mathrm{Index}(D) = \dim \mathrm{Ker}(D) - \dim\mathrm{Ker}(D^*) = \mathrm{Tr} (e^{-tD^*D}) - \mathrm{Td}(e^{-tDD^*})

  在此 t > 0 可任取。

  上式右侧是两个热核的差,它们在 t \to 0+ 时有渐近表示式,它乍看复杂,但不变量理论表明其中有许多相销项,藉此可明确写下领导项,由此可证出指标定理。这些相销现象稍后也得到超对称理论的诠释。

阿蒂亚-辛格指标定理的推广

   推广至椭圆伪微分算子的情形。

   考虑更一般的椭圆复形,这是一个由向量丛构成的上链复形

  0 → E0E1E2 → ... → Em →0

  其中的每个箭头都是伪微分算子,其符号构成一个正合复形。当只有两项非零时,前述条件等价于其间的算子是椭圆的,因此椭圆算子是椭圆复形的特例。反过来说,给定一个椭圆复形,分别考虑其奇次项与偶次项的直和,其间的映射由原复形的映射及伴随映射给出,如此则可得到椭圆算子。

   带边界的流形。

   考虑一族以流形 Y 为参数空间而变化椭圆算子,相应的解析指数可定义为 K(Y) 的元素。

   设李群 G 作用在紧流形 X 上,并与所论的椭圆算子交换,则我们可以用等变K理论替代一般的K理论,得到的结果称为等变指标定里。

   L2 指标定理。

阿蒂亚-辛格指标定理的例子

欧拉示性数

  设 X 为有定向的紧流形。任选一黎曼度量,取 E := \bigwedge^\mathrm{even} T^ X,并取 F := \bigwedge^\mathrm{odd} T^ X,定义算子 D := d + d^ : E \to F。此时的拓扑指标等于 X 的欧拉示性数,解析指标等于 \sum_i (-1)^i \dim H^i_\mathrm{DR}(X)

希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理

  设 X 为紧复流形,V 为其上的复向量丛。定义

   E := V \otimes \bigoplus_{i: \mathrm{even}} \Omega_X^{0,i}

   F := V \otimes \bigoplus_{i: \mathrm{odd}} \Omega_X^{0,i}

   D := \overline\partial + \overline\partial^ : E \to F

  则解析指标等于

   \mathrm{Index}(D) = \sum (-1)^p \dim H^p (X,V)

  而拓扑指标等于

   index(D) = ch(V)Td(X)[X],

 亏格与 Rochlin 定理

  流形的Â亏格是个有理数。对于自旋流形,这个值总是整数,若 \dim X \equiv 4 \mod 8,则它还是个偶数。这个定理可以由指标定理导出,方法是考虑适当的狄拉克算子;当 \dim X \equiv 4 \mod 8 时,此算子的核与余核带有四元数环上的向量空间结构,其复维度必为偶数,因此解析指标也必然是偶数。

阿蒂亚-辛格指标定理的评价

  当阿蒂亚与辛格在2004年获得阿贝尔奖时,公告上是这么形容阿蒂亚-辛格指标定理的:

  科学家以随时空改变的力与测量量描述世界。自然律以这些量的变化率表示,称为微分方程。这些方程可以有个指标,这是方程的解数减去对所求值的限制数目。阿蒂亚-辛格指标以空间的几何性质描述这个量。

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