单纯形法

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单纯形法（Simplex Method）

　　单纯形法是美国数学家George Dantzig于1947年首先提出的。

　　其理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rⁿ中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到，该顶点所对应的可行解称为基本可行解。

　　单纯形法是一种多变量函数的寻优方法，其主要思想是先找一个基本可行解，判断是否为最优解，如果不是则找另外一个解，再进行判定，如此迭代运算，直至找到最优解或者判定其无界。

　　单纯形法是一种直接、快速的搜索最小值方法，其优点是对目标函数的解析性没有要求，收敛速度快，适用面较广。

　　单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：

　　1.把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。

　　2.若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。

　　3.若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。

　　4.按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。

　　5.若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。

　　原单纯形法不是很经济的算法。1953年美国数学家G.B.丹齐克为了改进单纯形法每次迭代中积累起来的进位误差，提出改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。这样做可以减少迭代中的累积误差，提高计算精度，同时也减少了在计算机上的存储量。

　　改进的单纯形法是在单纯形操作中引入变异操作，以此来增强全局搜索能力。具体做法是：

　　首先，进行基本单纯形法操作，快速得到局部极小值，再对极小值点在取值范围内进行变异操作，并重新进行基本单纯形法操作，直到得到最优解为止。该算法的计算步骤如下：

　　(1)选取初始单纯形，初始步长L，最大变异次数mmax，计数器m=0；

　　(2)进行基本单纯形操作，找到一个极值点X₁；

　　(3)以极值点置作新的顶点，再选取初始单纯形，并进行新一轮的单纯形操作，得到新的极值点，两极值点对应的目标函数为R₁,R₂；

　　(4)若R₁ > R₂,R₁ = R₂,X₁ = X₂,

　　代入：　　(i=1,2,…,t)(1)

式中，X_imax、X_imin为参数X_i的上、下限；为0到1之间的随机数。

　　(5)若，对进行变异操作，计数器m=m+1：

　　(6)若计数器m < mmax，转(1)，否则输出结果X₁。

即求max：x1+x2，列单纯形表（即矩阵）：

原理1，根据方程组消元法对矩阵进行行变换，变换后约束条件等价不变。如以上实例。

原理2，令非基变量为0，此时基变量的取值满足约束条件。单纯形法正是通过消元法交换基变量和非基变量，令非基变量为0，以求达到目标函数最优值的基变量组合。基变量即为系数为1，0的变量。 图解如下： 初始，将非基变量和基变量分为各自两部分，

对矩阵进行行变换，

如图所示，令非基变量为0，此时基变量的取值仍满足约束条件。基变量的取值为

原理3，对实例中c行的变换的解释： 将基变量用非基变量表示如下图，

x1到xm即基变量。

c行所进行的变换就是求上图中的

显然当的累加值小于0时，令非基变量为0则Z（实例中x1+x2）达到最大。