格尔丰德-施奈德定理

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格尔丰德-施奈德定理（Gelfond–Schneider theorem）

　　格尔丰德-施奈德定理是指一个可以用于证明许多数的超越数的结果。这个定理由Aleksandr Gelfond和Theodor Schneider在1934年独立证明，它回答了希尔伯特第七问题。

　　如果α和β是代数数，其中α≠0且≠1，且β不是有理数，那么任何α^β = exp{βlogα}的值一定是超越数。

　　α和β不限于实数；它们可以是复数。

　　一般地，α^β = exp{βlogα}是多值函数，其中“log”表示复数对数。

　　该定理的一个等价的表述是：如果α和γ是非零的代数数，那么(logγ) / (logα)要么是有理数，要么是超越数。

　　如果没有β是代数数的限制，这个定理就不一定成立。例如，如果α = 3，β = log2 / log3，那么α^β = 2，它是代数数。

　　利用这个定理，立刻就可以推出以下实数的超越性：（格尔丰德-施奈德常数）和。

　　e^π（格尔丰德常数），以及e^-π/2=iⁱ（这是因为是( − 1) ^{− i}的值之一）。