布劳威尔不动点定理

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布劳威尔不动点定理(Brouwer fixed point theorem)

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什么是布劳威尔不动点定理

  在数学中,布劳威尔不动点定理是指拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威。

  布劳威尔不动点定理说明:对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f,存在一个点x0,使得f(x0) = x0。布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸集射到它自身的函数都成立。

  关于不动点的定理很多[1],但布劳威尔不动点定理是最著名的不动点定理之一,因为它在不少领域中都有应用。

  在最初的领域中,这个结果与若尔当曲线定理、毛球定理和博苏克-乌拉姆定理一样,是少数刻画欧几里得空间之拓扑性质的关键定理之一。[2]因此,布劳威尔定理在拓扑学中也有重要的地位[3]。这个定理也被应用于证明各种微分方程的深入结果中,在大部分的微分几何课程中都可以见到对这个定理的介绍。即使在看上去与这个定理没有什么关系的领域,例如博弈论中,也能见到布劳威尔定理的应用。在经济学中,布劳威尔不动点定理以及其推广:角谷静夫定理在证明经济学市场中全局平衡的存在性中扮演了重要角色。后者是由诺贝尔奖获得者吉拉德•德布鲁和肯尼斯•约瑟夫•阿罗在二十世纪五十年代发展起来的。

  最初研究这个定理的是专研微分方程的以亨利•庞加莱和艾米•皮卡为首的法国数学家,因为在证明类似庞加莱-本迪克松定理时需要用到拓扑学的方法。19世纪末期,这个定理的各种类似的版本。一般性的定理是由法国数学家雅克•阿达马在1910年证明的,1912年,鲁伊兹•布劳威尔给出了一个新的证明。

布劳威尔不动点定理的历史

  布劳威尔不动点定理是代数拓扑的早期成就,还是更多更一般的不动点定理的基础,在泛函分析中尤其重要。在1904年,首先由Piers Bohl 证明n = 3 的情况(发表于《纯綷及应用数学期刊》[4]之内)。后来在1909年,鲁伊兹•布劳威尔再次证明。在1910年,雅克•阿达马提供一般情况的证明,而布劳威尔在1912年提出另一个不同的证明。这些早期的证明皆属于非构造性证明,与数学直觉主义理想矛盾。现在已知如何构造(接近)由布劳威尔不动点定理所保证的不动点,见例子 (Karamadian 1977) 和 (Istrăţescu 1981)。

布劳威尔不动点定理的内容

  布劳威尔不动点定理有若干种不同的叙述方式,与使用时的上下文有关。

  最简单的形式如下:

  平面上:每一个从某个给定的闭集圆盘射到它自身的连续函数。

  推广到任意有限维数的情况,就是:

  欧几里得空间中:每一个从某个给定的闭集射到它自己的连续函数都有(至少)一个不动点[5]

  一个稍微更一般化的结论是:[6]

  每一个从一个欧几里得空间的某个给定的凸集射到它自身的连续函数都有(至少)一个不动点[7]

  而更加著名的是一个还要更一般化的定理:

  Schauder不动点定理:每一个从一个巴拿赫空间的某个给定的凸集射到它自身的连续函数都有(至少)一个不动点[8]

布劳威尔不动点定理的举例

  这个定理可以通过很实际的例子来理解。比如:取两张一样大小的白纸,在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格。将一张纸平铺在桌面,而另外一张随意揉成一个形状(但不能撕裂),放在第一张白纸之上,不超出第一张的边界。那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点的正上方。一个更简单的说法是:将一张白纸平铺在桌面上,再将它揉成一团(不撕裂),放在原来白纸所在的地方,那么只要它不超出原来白纸平铺时的边界,那么白纸上一定有一点在水平方向上没有移动过。

  这个断言的根据就是布劳威尔不动点定理在二维欧几里得空间(欧几里得平面)的情况,因为把纸揉皱是一个连续的变换过程。

  另一个例子是大商场等地方可以看到的平面地图,上面标有“您在此处”的红点。如果标注足够精确,那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。

  三维空间中的情况:如果我们用一个密封的锅子煮水,那么总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置。

  地球绕着它的自转轴自转。自转轴在自转过程中是不变的,也就是自转运动的不动点。

参考文献

  1. E.g. F & V Bayart Théorèmes du point fixe
  2. D. Leborgne Calcul différentiel et géométrie Puf (1982) ISBN 2130374956,第15页。
  3. Encyclopédie Universalis: Il en a démontré l'un des plus beaux théorèmes, le théorème du point fixe, dont les applications et généralisations, de la théorie des jeux aux équations différentielles, se sont révélées fondamentales. Luizen Brouwer,作者:G. Sabbagh
  4. Journal für die reine und angewandte Mathematik 的直译
  5. D. Leborgne Calcul différentiel et géométrie Puf (1982) ISBN 2130374956. 第15页。
  6. 因为可以证明,欧几里得空间中的凸集和闭圆球是同胚的。
  7. V. & F. Bayart Point fixe, et théorèmes du point fixe
  8. C. Minazzo K. Rider Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Différentielles Université de Nice-Sophia Antipolis.
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